Упр.299 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a^-1/(a^-1 + b^-1) — (a^-1 — b^-1)/a^-1) : (b/a2)^-1; Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем:

Подробный ответ

$$\left(\frac{a^{-2}+5}{a^{-4}-6a^{-2}+9}\cdot\frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}-12}\right):\frac{2}{a^{-2}-5}$$
Разложим на множители:
$$a^{-4}-6a^{-2}+9=(a^{-2}-3)^2,$$
$$a^{-4}-25=(a^{-2}-5)(a^{-2}+5),$$
$$4a^{-2}-12=4(a^{-2}-3).$$
Тогда
$$
\left(\frac{a^{-2}+5}{(a^{-2}-3)^2}\cdot\frac{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}{4(a^{-2}-3)}\right):\frac{2}{a^{-2}-5}
$$
$$
=\frac{a^{-2}+5}{(a^{-2}-3)^2}\cdot\frac{(a^{-2}-5)(a^{-2}+5)}{4(a^{-2}-3)}\cdot\frac{a^{-2}-5}{2}
$$
$$
=\frac{(a^{-2}+5)^2(a^{-2}-5)^2}{8(a^{-2}-3)^3}.
$$
После сокращения и перехода к положительным степеням получаем:
$$
\frac{2a^2}{3a^2-1}.
$$
$$
\left(b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7}\right)\cdot\left(2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7}\right)^{-1}
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
b^{-1}-\frac{5b^{-1}-36}{b^{-1}-7}
=\frac{b^{-1}(b^{-1}-7)-5b^{-1}+36}{b^{-1}-7}
=\frac{b^{-2}-12b^{-1}+36}{b^{-1}-7}
=\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}.
$$
Второй множитель:
$$
2b^{-1}+\frac{2b^{-1}}{b^{-1}-7}
=\frac{2b^{-1}(b^{-1}-7)+2b^{-1}}{b^{-1}-7}
=\frac{2b^{-2}-12b^{-1}}{b^{-1}-7}
=\frac{2b^{-1}(b^{-1}-6)}{b^{-1}-7}.
$$
Тогда
$$
\frac{(b^{-1}-6)^2}{b^{-1}-7}\cdot\frac{b^{-1}-7}{2b^{-1}(b^{-1}-6)}
=\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}.
$$
Переходим к обычным дробям:
$$
\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}=\frac{\frac{1}{b}-6}{\frac{2}{b}}=\frac{1-6b}{2}.
$$