Упр.269 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Можно ли утверждать, что при любом натуральном n значение выражения (5n+6,5)2 — (2n+0,5)2 кратно 42?

Преобразуем выражение по формуле разности квадратов:

$$
(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2
$$

$$
=(5n+6{,}5-(2n+0{,}5))(5n+6{,}5+(2n+0{,}5))
$$

$$
=(3n+6)(7n+7)=3(n+2)\cdot 7(n+1)=21(n+2)(n+1).
$$

Среди двух последовательных натуральных чисел $$n+1$$ и $$n+2$$ одно обязательно чётное, значит произведение $$ (n+1)(n+2) $$ кратно $$2$$.

Тогда выражение $$21(n+1)(n+2)$$ кратно $$21\cdot 2=42$$.

Ответ

Да, при любом натуральном $$n$$ данное выражение кратно $$42$$.