Упр.221 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3 %. При каких значениях а уравнение (x-a)(x-3a) / (x+9) = 0 имеет один корень?

Пусть в начале года было $$x$$ жителей. Тогда к концу года их стало на $$3\%$$ больше, то есть

$$x+0{,}03x=72100.$$

Получаем:

$$1{,}03x=72100,$$

$$x=\frac{72100}{1{,}03}=70000.$$

Значит, в начале года в городе было $$70000$$ жителей.

Рассмотрим уравнение

$$\frac{(x-a)(x-3a)}{x+9}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$
\begin{cases}
(x-a)(x-3a)=0,\\
x+9\ne 0.
\end{cases}
$$

Отсюда

$$x=a \quad \text{или} \quad x=3a,$$

при этом $$x\ne -9.$$

Чтобы уравнение имело один корень, нужно, чтобы один из корней числителя не подходил из-за знаменателя, а другой был допустим. Это происходит в случаях:

• $$a=-9$$, тогда корень $$x=a=-9$$ не подходит, а $$x=3a=-27$$ подходит;
• $$a=-3$$, тогда корень $$x=3a=-9$$ не подходит, а $$x=a=-3$$ подходит;
• $$a=0$$, тогда оба корня совпадают: $$x=0$$.

Ответ

$$70000$$ жителей; $$a=-9,\,-3,\,0.$$