Упр.220 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях а уравнение (x+а)/(x2-4) = 0 не имеет корней?

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{(x-a)(x-3a)}{x+9}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$
\begin{cases}
(x-a)(x-3a)=0,\\
x+9\ne 0.
\end{cases}
$$

Отсюда

$$x=a \quad \text{или} \quad x=3a,$$

при этом $$x\ne -9.$$

Чтобы уравнение имело ровно один корень, один из найденных корней должен быть недопустимым или оба корня должны совпасть.

Проверим случаи:

если $$a=-9,$$ то корни: $$x=-9$$ и $$x=-27,$$ но $$x=-9$$ не подходит, значит остаётся один корень;
если $$3a=-9,$$ то есть $$a=-3,$$ тогда корни: $$x=-3$$ и $$x=-9,$$ но $$x=-9$$ не подходит, значит остаётся один корень;
если $$a=0,$$ то оба корня совпадают: $$x=0.$$

Следовательно, уравнение имеет один корень при $$a=-9,$$ $$a=-3$$ или $$a=0.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x+a}{x^2-4}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$
\begin{cases}
x+a=0,\\
x^2-4\ne 0.
\end{cases}
$$

Отсюда

$$x=-a,$$

а область допустимых значений задаётся условием

$$x\ne \pm 2.$$

Чтобы уравнение не имело корней, найденное значение $$x=-a$$ должно совпасть с запрещённым значением $$2$$ или $$-2$$:

$$-a=2 \quad \text{или} \quad -a=-2.$$

Получаем