Упр.219 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения а решите уравнение:
1) (x-1)/(x-a) = 0;
2) (x-a)/(x+5) = 0;
3) a(x-a)/(x-3) = 0;

Рассмотрим дробь. Она равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$\frac{x+a}{x^2-4}=0$$

Тогда

$$x+a=0,\qquad x^2-4\ne 0.$$

Из первого условия получаем $$x=-a.$$ Подставим во второе:

$$(-a)^2-4\ne 0,$$

$$a^2-4\ne 0,$$

$$a\ne 2,\ a\ne -2.$$

Значит, при $$a=2$$ или $$a=-2$$ уравнение корней не имеет.

1) $$\frac{x-1}{x-a}=0$$

Чтобы дробь была равна нулю, нужно:

$$x-1=0,\qquad x-a\ne 0.$$

Отсюда $$x=1.$$

Если $$a\ne 1,$$ то $$x=1$$ — корень уравнения. Если $$a=1,$$ то знаменатель обращается в нуль, и корней нет.

2) $$\frac{x-a}{x+5}=0$$

Необходимо, чтобы

$$x-a=0,\qquad x+5\ne 0.$$

Отсюда $$x=a.$$

Если $$a\ne -5,$$ то $$x=a$$ — корень уравнения. Если $$a=-5,$$ то корней нет.

3) $$\frac{a(x-a)}{x-3}=0$$

Здесь возможны два случая.

Если $$a=0,$$ то числитель равен нулю при любом $$x,$$ кроме $$x=3.$$ Значит, корнем является любое число, кроме $$3.$$

Если $$a\ne 0,$$ то нужно, чтобы

$$x-a=0,\qquad x\ne 3.$$

Тогда $$x=a.$$ Если $$a\ne 3,$$ то $$x=a$$ — корень. Если $$a=3,$$ то корней нет.

Ответ

$$\frac{x+a}{x^2-4}=0$$ не имеет корней при $$a=\pm 2.$$

1) Если $$a\ne 1,$$ то $$x=1$$; если $$a=1,$$ корней нет.

2) Если $$a\ne -5,$$ то $$x=a$$; если $$a=-5,$$ корней нет.

3) Если $$a=0,$$ то $$x\ne 3$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a$$; если $$a=3,$$ корней нет.