Упр.218 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x-1)/(x-a) = 0;
2) (x-a)/(x+5) = 0;
3) a(x-a)/(x-3) = 0; Решите уравнение:
1) (4y+24)/(5y2-45) + (y+3)/(5y2-15y) = (y-3)/(y2+3y);

1. $$\frac{x-1}{x-a}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$x-1=0,\quad x-a\ne 0.$$

   Получаем $$x=1.$$ Это значение подходит, если $$1-a\ne 0,$$ то есть $$a\ne 1.$$

   Если $$a=1,$$ то при $$x=1$$ знаменатель обращается в нуль, значит корней нет.

2. $$\frac{x-a}{x+5}=0$$

   Тогда
   $$x-a=0,\quad x+5\ne 0.$$

   Следовательно, $$x=a.$$ Это значение подходит, если $$a+5\ne 0,$$ то есть $$a\ne -5.$$

   Если $$a=-5,$$ то корней нет.

3. $$\frac{a(x-a)}{x-3}=0$$

   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$a(x-a)=0,\quad x-3\ne 0.$$

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a=0,$$ то числитель равен нулю при любом $$x,$$ кроме $$x=3$$;
   • если $$a\ne 0,$$ то из $$a(x-a)=0$$ получаем $$x-a=0,$$ то есть $$x=a,$$ и нужно, чтобы $$a\ne 3$$;
   • если $$a=3,$$ то при $$x=a$$ знаменатель равен нулю, значит корней нет.

4. $$\frac{4y+24}{5y^2-45}+\frac{y+3}{5y^2-15y}=\frac{y-3}{y^2+3y}$$

   Перенесём всё в левую часть и разложим знаменатели на множители:
   $$\frac{4y+24}{5(y-3)(y+3)}+\frac{y+3}{5y(y-3)}-\frac{y-3}{y(y+3)}=0.$$

   Общий знаменатель:
   $$5y(y-3)(y+3).$$

   Тогда
   $$
   \frac{y(4y+24)+(y+3)^2-5(y-3)^2}{5y(y-3)(y+3)}=0.
   $$

   Числитель:
   $$
   y(4y+24)+(y+3)^2-5(y-3)^2=4y^2+24y+y^2+6y+9-5(y^2-6y+9)=60y-36.
   $$

   Получаем
   $$
   \frac{60y-36}{5y(y-3)(y+3)}=0.
   $$

   Тогда
   $$60y-36=0,\quad y\ne 0,\; y\ne 3,\; y\ne -3.$$

   $$60y=36,\quad y=0{,}6.$$

   Это значение не нарушает ОДЗ, значит оно подходит.

5. $$\frac{y+2}{8y^3+1}-\frac{1}{4y+2}=\frac{y+3}{8y^2-4y+2}$$

   Разложим знаменатели:
   $$8y^3+1=(2y+1)(4y^2-2y+1),\quad 4y+2=2(2y+1),\quad 8y^2-4y+2=2(4y^2-2y+1).$$

   Тогда
   $$
   \frac{y+2}{(2y+1)(4y^2-2y+1)}-\frac{1}{2(2y+1)}-\frac{y+3}{2(4y^2-2y+1)}=0.
   $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$
   \frac{2(y+2)-(4y^2-2y+1)-(y+3)(2y+1)}{2(2y+1)(4y^2-2y+1)}=0.
   $$

   Числитель:
   $$
   2y+4-4y^2+2y-1-(2y^2+7y+3)=-6y^2-3y=-3y(2y+1).
   $$

   Получаем
   $$
   \frac{-3y(2y+1)}{2(2y+1)(4y^2-2y+1)}=0.
   $$

   Отсюда
   $$y=0,$$
   при этом $$2y+1\ne 0$$ и $$4y^2-2y+1\ne 0.$$

   Значит, $$y=0$$ — корень уравнения.

Ответ

1) если $$a\ne 1,$$ то $$x=1,$$ если $$a=1,$$ то корней нет;
2) если $$a\ne -5,$$ то $$x=a,$$ если $$a=-5,$$ то корней нет;
3) если $$a=0,$$ то $$x\ne 3$$; если $$a\ne 0$$ и $$a\ne 3,$$ то $$x=a$$; если $$a=3,$$ то корней нет;
4) $$y=0{,}6$$;
5) $$y=0$$.