Упр.217 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (4y+24)/(5y2-45) + (y+3)/(5y2-15y) = (y-3)/(y2+3y); Решите уравнение:
1) (x+5)/(x2-5x) — (x-5)/(2×2+10x) = (x+25)/(2×2-50);

Подробный ответ

$$\frac{4y+24}{5y^2-45}+\frac{y+3}{5y^2-15y}=\frac{y-3}{y^2+3y}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$5y^2-45=5(y-3)(y+3),\quad 5y^2-15y=5y(y-3),\quad y^2+3y=y(y+3).$$
Тогда
$$
\frac{4y+24}{5(y-3)(y+3)}+\frac{y+3}{5y(y-3)}-\frac{y-3}{y(y+3)}=0.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{y(4y+24)+(y+3)^2-5(y-3)^2}{5y(y-3)(y+3)}=0.
$$
Раскроем скобки:
$$
y(4y+24)+(y+3)^2-5(y-3)^2
=4y^2+24y+y^2+6y+9-5(y^2-6y+9)
$$
$$
=4y^2+24y+y^2+6y+9-5y^2+30y-45
=60y-36.
$$
Получаем:
$$
\frac{60y-36}{5y(y-3)(y+3)}=0.
$$
Значит,
$$
60y-36=0,\quad y=\frac{36}{60}=\frac35.
$$
ОДЗ: $$y\ne 0,\; y\ne 3,\; y\ne -3.$$ Значение $$y=\frac35$$ подходит.
$$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$
Разложим знаменатели:
$$x^2-5x=x(x-5),\quad 2x^2+10x=2x(x+5),\quad 2x^2-50=2(x-5)(x+5).$$
Тогда
$$
\frac{x+5}{x(x-5)}-\frac{x-5}{2x(x+5)}-\frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}=0.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{2(x+5)^2-(x-5)^2-x(x+25)}{2x(x-5)(x+5)}=0.
$$
Числитель:
$$
2(x+5)^2-(x-5)^2-x(x+25)
$$
$$
=2(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)-x^2-25x
$$
$$
=2x^2+20x+50-x^2+10x-25-x^2-25x
=5x+25.
$$
Получаем:
$$
\frac{5x+25}{2x(x-5)(x+5)}=0.
$$
Тогда
$$
5x+25=0,\quad x=-5.
$$
Но по ОДЗ $$x\ne -5,\; x\ne 0,\; x\ne 5,$$ поэтому найденное значение не подходит. Корней нет.
$$\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{2x^2-12x+18}=\frac{3}{2x^2+6x}$$
Разложим знаменатели:
$$x^2-9=(x-3)(x+3),\quad 2x^2-12x+18=2(x-3)^2,\quad 2x^2+6x=2x(x+3).$$
Тогда
$$
\frac{2}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{2(x-3)^2}-\frac{3}{2x(x+3)}=0.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{4x(x-3)-x(x+3)-3(x-3)^2}{2x(x-3)^2(x+3)}=0.
$$
Числитель:
$$
4x(x-3)-x(x+3)-3(x-3)^2
$$
$$
=4x^2-12x-x^2-3x-3(x^2-6x+9)
$$
$$
=4x^2-12x-x^2-3x-3x^2+18x-27
=3x-27.
$$
Получаем:
$$
\frac{3x-27}{2x(x-3)^2(x+3)}=0.
$$
Тогда
$$
3x-27=0,\quad x=9.
$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 3,\; x\ne -3.$$ Значение $$x=9$$ подходит.
$$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$
Разложим:
$$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$
Тогда
$$
\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^2+4x+16}=0.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{9x+12-(x^2+4x+16)-(x-4)}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0.
$$
Числитель:
$$
9x+12-x^2-4x-16-x+4=-x^2+4x=-x(x-4).
$$
Получаем:
$$
\frac{-x(x-4)}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0.
$$
Отсюда
$$
x=0.
$$
ОДЗ: $$x\ne 4,$$ а также $$x^2+4x+16\ne 0$$ для всех действительных $$x$$. Значение $$x=0$$ подходит.