Упр.211 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 5/(x2-4) + 2x/(x+2) = 2;
2) 2/(6x+1) + 3/(6x-1) = (30x+9)/(36×2-1); Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых:
1) имеет один корень;
2) имеет два корня;
3) имеет бесконечно много корней;
4) не имеет корней.

Подробный ответ

$$\frac{5}{x^2-4}+\frac{2x}{x+2}=2$$

$$\frac{5}{(x-2)(x+2)}+\frac{2x(x-2)}{(x-2)(x+2)}-2=0$$

$$\frac{5+2x(x-2)-2(x^2-4)}{(x-2)(x+2)}=0$$

$$\frac{5+2x^2-4x-2x^2+8}{(x-2)(x+2)}=0$$

$$\frac{-4x+13}{(x-2)(x+2)}=0$$

$$-4x+13=0,\quad x\neq 2,\quad x\neq -2$$

$$x=\frac{13}{4}$$
$$\frac{2}{6x+1}+\frac{3}{6x-1}=\frac{30x+9}{36x^2-1}$$

$$\frac{2}{6x+1}+\frac{3}{6x-1}-\frac{30x+9}{(6x-1)(6x+1)}=0$$

$$\frac{2(6x-1)+3(6x+1)-(30x+9)}{(6x-1)(6x+1)}=0$$

$$\frac{12x-2+18x+3-30x-9}{(6x-1)(6x+1)}=0$$

$$\frac{-8}{(6x-1)(6x+1)}=0$$

Числитель не равен нулю, значит корней нет.
$$\frac{6x+14}{x^2-9}+\frac{7}{x^2+3x}=\frac{6}{x-3}$$

$$\frac{6x+14}{(x-3)(x+3)}+\frac{7}{x(x+3)}-\frac{6}{x-3}=0$$

$$\frac{x(6x+14)+7(x-3)-6x(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=0$$

$$\frac{6x^2+14x+7x-21-6x^2-18x}{x(x-3)(x+3)}=0$$

$$\frac{3x-21}{x(x-3)(x+3)}=0$$

$$3x-21=0,\quad x\neq 0,\quad x\neq 3,\quad x\neq -3$$

$$x=7$$
$$\frac{2y^2+5}{1-y^2}+\frac{y+1}{y-1}=\frac{4}{y+1}$$

$$\frac{2y^2+5}{(1-y)(1+y)}-\frac{y+1}{1-y}-\frac{4}{1+y}=0$$

$$\frac{2y^2+5-(y+1)^2-4(1-y)}{(1-y)(1+y)}=0$$

$$\frac{2y^2+5-y^2-2y-1-4+4y}{(1-y)(1+y)}=0$$

$$\frac{y^2+2y}{(1-y)(1+y)}=0$$

$$\frac{y(y+2)}{(1-y)(1+y)}=0$$

$$y=0 \text{ или } y=-2,\quad y\neq 1,\quad y\neq -1$$
$$\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{4}{1-4x^2}$$

$$\frac{2x-1}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{4}{1-4x^2}=0$$

$$\frac{(2x-1)^2-(2x+1)^2+4}{(2x-1)(2x+1)}=0$$

$$\frac{4x^2-4x+1-4x^2-4x-1+4}{(2x-1)(2x+1)}=0$$

$$\frac{-8x+4}{(2x-1)(2x+1)}=0$$

$$-8x+4=0,\quad x\neq \frac12,\quad x\neq -\frac12$$

$$x=\frac12$$

Но это значение не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Корней нет.
$$\frac{7}{(x+2)(x-3)}-\frac{4}{(x-3)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}$$

$$\frac{7(x+2)(x-3)-4(x+2)^2-3(x-3)^2}{(x+2)^2(x-3)^2}=0$$

$$7(x^2-x-6)-4(x^2+4x+4)-3(x^2-6x+9)=0$$

$$7x^2-7x-42-4x^2-16x-16-3x^2+18x-27=0$$

$$-5x-85=0$$

$$x=-17,\quad x\neq -2,\quad x\neq 3$$
$$\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}=\frac{6x+64}{x^2-16}+4$$

$$\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}-\frac{6x+64}{(x-4)(x+4)}-4=0$$

$$\frac{(2x-1)(x-4)+(3x-1)(x+4)-(6x+64)-4(x^2-16)}{(x-4)(x+4)}=0$$

$$\frac{x^2-4x}{(x-4)(x+4)}=0$$

$$x(x-4)=0,\quad x\neq 4,\quad x\neq -4$$

$$x=0$$
$$\frac{2x-6}{x^2-36}-\frac{x-3}{x^2-6x}-\frac{x-1}{x^2+6x}=0$$

$$\frac{2x-6}{(x-6)(x+6)}-\frac{x-3}{x(x-6)}-\frac{x-1}{x(x+6)}=0$$

$$\frac{x(2x-6)-(x-3)(x+6)-(x-1)(x-6)}{x(x-6)(x+6)}=0$$

$$\frac{-2x+12}{x(x-6)(x+6)}=0$$

$$-2(x-6)=0,\quad x\neq 0,\quad x\neq 6,\quad x\neq -6$$

$$x=6$$

Но это значение не подходит. Корней нет.