Упр.204 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x + 3)/(x — 4) = 0 и {x + 3 не равно 0; x — 4 = 0;
2) (x + 3)/(x — 4) = 0 и {x + 3 = 0; x — 4 не равно 0;
3) (x^2 — 16)/(x — 3) = 0 и {x^2 — 16 = 0; x — 3 не равно 0;
4) (x^2 — 16)/(x — 3) = 0 и {x — 3 = 0; x^2 — 16 не равно 0. На доске написаны многочлены х + 2 и 2х + 1. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов.
Может ли на доске появиться многочлен 2х3 + х + 5?

Подробный ответ

Уравнение вида $$\frac{A}{B}=0$$ равносильно системе
$$
\begin{cases}
A=0,\\
B\ne 0.
\end{cases}
$$
Проверим данные случаи:
1) $$\frac{x+3}{x-4}=0$$ и $$\begin{cases}x+3\ne 0,\\ x-4=0.\end{cases}$$
Это неравносильные уравнение и система.
2) $$\frac{x+3}{x-4}=0$$ и $$\begin{cases}x+3=0,\\ x-4\ne 0.\end{cases}$$
Это равносильные уравнение и система.
3) $$\frac{x^2-16}{x-3}=0$$ и $$\begin{cases}x^2-16=0,\\ x-3\ne 0.\end{cases}$$
Это равносильные уравнение и система.
4) $$\frac{x^2-16}{x-3}=0$$ и $$\begin{cases}x-3=0,\\ x^2-16\ne 0.\end{cases}$$
Это неравносильные уравнение и система.
Из многочленов $$x+2$$ и $$2x+1$$ можно получить:
сумму:
$$
(x+2)+(2x+1)=3x+3;
$$
разность:
$$
(2x+1)-(x+2)=x-1;
$$
произведение:
$$
(x+2)(2x+1)=2x^2+5x+2.
$$
Во всех случаях степень получающегося многочлена не выше второй, поэтому многочлен $$2x^3+x+5$$ получить нельзя.