Упр.195 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Кастрюля стоила на 510 р. меньше, чем сковорода. Во время распродажи кастрюля подешевела на 10 %, а сковорода — на 20 %, после чего кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р. Какова первоначальная цена кастрюли и какова — сковороды? Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 3^(n+2) -2^(n+2) + 3^n — 2^n делится надело на 10.
Пусть первоначальная цена кастрюли равна $$x$$ р. Тогда первоначальная цена сковороды равна $$x+510$$ р.
После распродажи кастрюля стала стоить $$0{,}9x$$ р., а сковорода —
$$
(x+510)-0{,}2(x+510)=0{,}8x+408.
$$
По условию вместе они стали стоить $$1156$$ р., значит:
$$
0{,}9x+(0{,}8x+408)=1156
$$
$$
1{,}7x+408=1156
$$
$$
1{,}7x=748
$$
$$
x=440.
$$
Тогда первоначальная цена сковороды:
$$
440+510=950.
$$
Проверим делимость выражения на $$10$$:
$$
3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n)
$$
$$
=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n\cdot 10-2^n\cdot 5
$$
$$
=10\left(3^n-2^{n-1}\right).
$$
Следовательно, выражение делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ
$$440$$ р. и $$950$$ р.; выражение делится на $$10$$.
