Упр.194 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Сколько картофеля было на первом складе первоначально?
Докажите, что значение выражения 2^14 — 2^12 — 2^10 делится нацело на 11.

Подробный ответ

Пусть на втором складе было $$x$$ кг картофеля. Тогда на первом складе было $$3x$$ кг.

После того как с первого склада вывезли $$400$$ кг, там осталось $$3x-400$$ кг. По условию это в 2 раза меньше, чем было на втором складе, то есть равно $$\frac{x}{2}$$.

Составим уравнение:

$$3x-400=\frac{x}{2}$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$6x-800=x$$

$$5x=800$$

$$x=160$$

Тогда первоначально на первом складе было:

$$3x=3\cdot 160=480$$

Проверим делимость выражения:

$$2^{14}-2^{12}-2^{10}=2^{10}(2^4-2^2-1)=2^{10}(16-4-1)=2^{10}\cdot 11$$

Так как один из множителей равен $$11$$, то всё выражение делится нацело на $$11$$.