Упр.191 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (3x — 1)(4х + 5) — (2х + 3)(6х + 1) = 4;
2) 8х(2х + 7) — (4х + 3)2 = 15. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение (b2+9)/(3b2-b3) + ((b+3)/(b-3))2 * (1/(b-3) + 6/(9-b2) — 3/(b2+3b) принимает положительпые значения.

1. $$ (3x-1)(4x+5)-(2x+3)(6x+1)=4 $$

   Раскроем скобки:
   $$ 12x^2+15x-4x-5-(12x^2+2x+18x+3)=4 $$
   $$ 12x^2+11x-5-12x^2-20x-3=4 $$
   $$ -9x-8=4 $$
   $$ -9x=12 $$
   $$ x=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3} $$

2. $$ 8x(2x+7)-(4x+3)^2=15 $$

   Раскроем скобки:
   $$ 16x^2+56x-(16x^2+24x+9)=15 $$
   $$ 16x^2+56x-16x^2-24x-9=15 $$
   $$ 32x-9=15 $$
   $$ 32x=24 $$
   $$ x=\frac{24}{32}=\frac{3}{4} $$

3. Рассмотрим выражение
   $$ \frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right). $$

   Область допустимых значений:
   $$ b\neq 0,\quad b\neq 3,\quad b\neq -3. $$

   Преобразуем:
   $$ \frac{b^2+9}{3b^2-b^3}=\frac{b^2+9}{b^2(3-b)} $$
   $$ \left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)
   =\frac{b+3}{b-3}\cdot\frac{b^2-6b+9}{b(b-3)} $$
   $$ =\frac{b+3}{b-3}\cdot\frac{(b-3)^2}{b(b-3)}=\frac{b+3}{b} $$

   Тогда всё выражение равно:
   $$ \frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{b+3}{b}
   =\frac{b^2+9+b(b+3)(3-b)}{b^2(3-b)} $$
   $$ =\frac{b^2+9+3b^2+9b-b^3-b^2}{b^2(3-b)}
   =\frac{3(3-b)}{b^2(3-b)}=\frac{3}{b^2}. $$

   Так как при допустимых значениях переменной $$b\neq 0$$, то $$b^2>0$$, следовательно,
   $$ \frac{3}{b^2}>0. $$
   Значит, выражение принимает положительные значения.

Ответ

1) $$x=-\frac{4}{3}$$; 2) $$x=\frac{3}{4}$$; выражение равно $$\frac{3}{b^2}$$ и положительно при всех допустимых значениях $$b$$.