Упр.189 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

Упростим выражение:

$$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right).$$

Заметим, что

$$3b^2-b^3=b^2(3-b), \quad 9-b^2=(3-b)(3+b), \quad b^2+3b=b(b+3).$$

Тогда

$$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{(3-b)(3+b)}-\frac{3}{b(b+3)}\right).$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{b-3}-\frac{6}{(b-3)(b+3)}-\frac{3}{b(b+3)}$$

$$=\frac{b(b+3)-6b-3(b-3)}{b(b-3)(b+3)}$$

$$=\frac{b^2+3b-6b-3b+9}{b(b-3)(b+3)}=\frac{b^2-6b+9}{b(b-3)(b+3)}=\frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)}.$$

Тогда

$$\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\cdot \frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)}=\frac{b+3}{b(b-3)}.$$

Теперь сложим полученные дроби:

$$\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{b+3}{b(b-3)}=\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}-\frac{b+3}{b(3-b)}$$

$$=\frac{b^2+9-b(b+3)}{b^2(3-b)}=\frac{b^2+9-b^2-3b}{b^2(3-b)}$$

$$=\frac{9-3b}{b^2(3-b)}=\frac{3(3-b)}{b^2(3-b)}=\frac{3}{b^2}.$$

При допустимых значениях переменной $$b\neq 0,\; b\neq 3,\; b\neq -3$$ получаем $$b^2>0$$, значит

$$\frac{3}{b^2}>0.$$

Следовательно, выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной.

Ответ

$$\frac{3}{b^2}>0,$$ выражение положительно при всех допустимых значениях $$b\neq 0,\; b\neq \pm 3.$$