Упр.188 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

Подробный ответ

Рассмотрим выражение
$$\frac{16}{(a-2)^4}:\left(\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}\right)-\frac{8a}{(a-2)^2}.$$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{1}{(a-2)^2}-\frac{2}{(a-2)(a+2)}+\frac{1}{(a+2)^2}
=\frac{(a+2)^2-2(a-2)(a+2)+(a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}.$$
Числитель:
$$(a+2)^2-2(a-2)(a+2)+(a-2)^2=16.$$
Тогда
$$\frac{16}{(a-2)^4}:\frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2}-\frac{8a}{(a-2)^2}
=\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}-\frac{8a}{(a-2)^2}.$$
Получаем:
$$\frac{a^2+4a+4-8a}{(a-2)^2}
=\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^2}
=\frac{(a-2)^2}{(a-2)^2}=1.$$
Рассмотрим выражение
$$\frac{a+11}{a+9}-\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2.$$
Разложим знаменатели:
$$a^2-81=(a-9)(a+9), \qquad a^2-18a+81=(a-9)^2.$$
Тогда
$$\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}
=\frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}.$$
Числитель:
$$(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)=2a^2+12a+18=2(a+3)^2.$$
Значит,
$$\left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2
=\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}\cdot\frac{(a-9)^2}{(a+3)^2}
=\frac{2}{a+9}.$$
Тогда всё выражение равно
$$\frac{a+11}{a+9}-\frac{2}{a+9}
=\frac{a+9}{a+9}=1.$$
Рассмотрим выражение
$$\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}\right):\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}\right).$$
Упростим первую скобку:
$$b^3-ab^2=b^2(b-a),$$
поэтому
$$\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}
=\frac{a^2}{b^2(b-a)}+\frac{a-b}{b^2}-\frac{1}{b}.$$
Приведя к общему знаменателю, получаем:
$$\frac{3ab-2b^2}{b^2(b-a)}=\frac{b(3a-2b)}{b^2(b-a)}=\frac{3a-2b}{b(b-a)}.$$
Упростим вторую скобку:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=-(b-a)(a+b).$$
Тогда
$$\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}+\frac{6a^2}{a^2-b^2}
=\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{a+b}-\frac{6a^2}{(b-a)(a+b)}.$$
Приводим к общему знаменателю:
$$\frac{(a+b)^2-(b-a)^2-6a^2}{(b-a)(a+b)}.$$
Числитель:
$$(a+b)^2-(b-a)^2-6a^2=4ab-6a^2=2a(2b-3a).$$
Значит,
$$\frac{2a(2b-3a)}{(b-a)(a+b)}=-\frac{2a(3a-2b)}{(b-a)(a+b)}.$$
Тогда всё выражение:
$$\frac{3a-2b}{b(b-a)}:\left(-\frac{2a(3a-2b)}{(b-a)(a+b)}\right)
=\frac{3a-2b}{b(b-a)}\cdot\frac{(b-a)(a+b)}{-2a(3a-2b)}.$$
Сокращаем:
$$-\frac{a+b}{2ab}=-\frac{a+b}{2ab}.$$
Рассмотрим выражение
$$\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right):\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2-\frac{8a-1}{2a^2+a}.$$
Разложим знаменатели:
$$4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2,\qquad 1-8a^3=(1-2a)(1+2a+4a^2),\qquad 2a^2+a=a(2a+1).$$
После преобразований получаем:
$$\frac{a+2}{a(1-2a)^2}-\frac{2-a}{a(1-2a)(2a+1)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a+2)(2a+1)-(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(2a+1)}.$$
Числитель:
$$(a+2)(2a+1)-(2-a)(1-2a)=10a.$$
Тогда
$$\frac{10a}{a(2a+1)}-\frac{8a-1}{a(2a+1)}
=\frac{10a-(8a-1)}{a(2a+1)}
=\frac{2a+1}{a(2a+1)}=\frac{1}{a}.$$