Упр.185 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) ((a-b)/(a+b) + b/a) / (a/(a+b) — (a-b)/a); Докажите, что значение выражепия не зависит от значения входящей в него переменной:
1) (3×2-27)/(4×2+2) * ((6x+1)/(x-3) + (6x-1)/(x+3));

Подробный ответ

Упростим выражение
$$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}.$$
Приведём числитель и знаменатель к общим знаменателям:
$$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)},$$
$$\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-(a^2-b^2)}{a(a+b)}=\frac{b^2}{a(a+b)}.$$
Тогда
$$\frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}}=\frac{a^2+b^2}{b^2}.$$
Докажем, что значение выражения не зависит от переменной:
$$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right).$$
Разложим на множители:
$$3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3),$$
$$4x^2+2=2(2x^2+1).$$
Сложим дроби в скобках:
$$\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}=\frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.$$
Числитель:
$$
(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)=
6x^2+18x+x+3+6x^2-18x-x+3=12x^2+6=6(2x^2+1).
$$
Тогда
$$
\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot
\frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}=9.
$$
Значение выражения не зависит от $x$.