Упр.182 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) ((a+3)/(a2-1) — 1/(a2+a)) : (3a+3)/(a2-a); Докажите тождество:
1) (ab/(a2-b2) + b/(2b-2a)) : 2b/(a2-b2) = (a-b)/4;

Подробный ответ

$$\left(\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}\right):\frac{3a+3}{a^2-a}$$
Разложим на множители:
$$a^2-1=(a-1)(a+1),\quad a^2+a=a(a+1),\quad a^2-a=a(a-1),\quad 3a+3=3(a+1).$$
Тогда
$$
\left(\frac{a+3}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}\right):\frac{3(a+1)}{a(a-1)}.
$$
Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
$$
\frac{a(a+3)-(a-1)}{a(a-1)(a+1)}:\frac{3(a+1)}{a(a-1)}.
$$
$$a(a+3)-(a-1)=a^2+3a-a+1=a^2+2a+1=(a+1)^2,$$
значит
$$
\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}\cdot \frac{a(a-1)}{3(a+1)}=\frac{1}{3}.
$$
Полученное значение не зависит от $a$.
$$\left(\frac{a}{a^2-49}-\frac{1}{a+7}\right):\frac{7a}{a^2+14a+49}-\frac{2}{a-7}$$
Разложим на множители:
$$a^2-49=(a-7)(a+7),\quad a^2+14a+49=(a+7)^2.$$
Тогда
$$
\left(\frac{a}{(a-7)(a+7)}-\frac{1}{a+7}\right):\frac{7a}{(a+7)^2}-\frac{2}{a-7}.
$$
В первой скобке:
$$
\frac{a-(a-7)}{(a-7)(a+7)}=\frac{7}{(a-7)(a+7)}.
$$
Деление заменим умножением:
$$
\frac{7}{(a-7)(a+7)}\cdot \frac{(a+7)^2}{7a}-\frac{2}{a-7}
=\frac{a+7}{a(a-7)}-\frac{2}{a-7}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{a+7-2a}{a(a-7)}=\frac{7-a}{a(a-7)}=-\frac{1}{a}.
$$
Полученное значение зависит от $a$.
$$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}$$
Разложим знаменатели:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad 2b-2a=-2(a-b).$$
Тогда
$$
\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{2(a-b)}\right):\frac{2b}{(a-b)(a+b)}.
$$
Приведём к общему знаменателю в скобках:
$$
\frac{2ab-b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}=\frac{ab-b^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b(a-b)}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{2(a+b)}.
$$
Теперь делим:
$$
\frac{b}{2(a+b)}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2b}=\frac{a-b}{4}.
$$
$$\left(\frac{8a}{4-a^2}-\frac{a-2}{a+2}\right):\frac{a+2}{a}+\frac{2}{a-2}$$
Разложим:
$$4-a^2=(2-a)(2+a).$$
Тогда
$$
\left(\frac{8a}{(2-a)(2+a)}-\frac{a-2}{a+2}\right)\cdot \frac{a}{a+2}+\frac{2}{a-2}.
$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$
\frac{8a-(a-2)(2-a)}{(2-a)(a+2)}.
$$
Так как
$$ (a-2)(2-a)=-(a-2)^2, $$
то
$$
8a-(a-2)(2-a)=8a+(a-2)^2=a^2+4a+4=(a+2)^2.
$$
Значит,
$$
\frac{(a+2)^2}{(2-a)(a+2)}\cdot \frac{a}{a+2}+\frac{2}{a-2}
=\frac{a}{2-a}+\frac{2}{a-2}.
$$
Так как
$$\frac{a}{2-a}=-\frac{a}{a-2},$$
получаем
$$
-\frac{a}{a-2}+\frac{2}{a-2}=\frac{2-a}{a-2}=-1.
$$
$$\left(\frac{3}{36-c^2}+\frac{1}{c^2-12c+36}\right)\cdot \frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}$$
Разложим:
$$36-c^2=(6-c)(6+c),\quad c^2-12c+36=(c-6)^2.$$
Тогда
$$
\left(\frac{3}{(6-c)(6+c)}+\frac{1}{(c-6)^2}\right)\cdot \frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}.
$$
Так как $$6-c=-(c-6),$$ то
$$
\frac{3}{(6-c)(6+c)}=-\frac{3}{(c-6)(c+6)}.
$$
Получаем
$$
\left(-\frac{3}{(c-6)(c+6)}+\frac{1}{(c-6)^2}\right)\cdot \frac{(c-6)^2}{2}+\frac{3c}{c+6}.
$$
Умножим:
$$
-\frac{3(c-6)}{2(c+6)}+\frac{1}{2}+\frac{3c}{c+6}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{-3(c-6)+6c}{2(c+6)}+\frac{1}{2}
=\frac{3c+18}{2(c+6)}+\frac{1}{2}
=\frac{3(c+6)}{2(c+6)}+\frac{1}{2}=2.
$$