Упр.181 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (b/(a2-ab) — 2/(a-b) — a/(b2-ab)) : (a2-b2)/4ab = 4/(a+b); Упростите выражение:
1) (x2+14x+49)/(x+6) : (13/(x+6) — x + 6);
2) (c — (2c-9)/(c+8) : (c2+3c)/(c2-64) + 24/c;

1. $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$a^2-ab=a(a-b), \quad b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

   Тогда
   $$
   \frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b(b-a)}
   =
   \frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}.
   $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$
   \frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}.
   $$

   Деление на дробь заменим умножением на обратную:
   $$
   \frac{a-b}{ab}:\frac{(a-b)(a+b)}{4ab}
   =
   \frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}
   =
   \frac{4}{a+b}.
   $$

2. $$\frac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\frac{13}{x+6}-x+6\right)$$

   Заметим, что
   $$x^2+14x+49=(x+7)^2,$$
   а
   $$
   \frac{13}{x+6}-x+6=\frac{13-(x-6)(x+6)}{x+6}
   =\frac{13-(x^2-36)}{x+6}
   =\frac{49-x^2}{x+6}.
   $$

   Тогда
   $$
   \frac{(x+7)^2}{x+6}:\frac{49-x^2}{x+6}
   =
   \frac{(x+7)^2}{49-x^2}.
   $$

   Так как
   $$49-x^2=(7-x)(7+x),$$
   получаем
   $$
   \frac{(x+7)^2}{(7-x)(7+x)}=\frac{x+7}{7-x}.
   $$

3. $$\left(c-\frac{2c-9}{c+8}\right):\frac{c^2+3c}{c^2-64}+\frac{24}{c}$$

   Преобразуем первую скобку:
   $$
   c-\frac{2c-9}{c+8}
   =
   \frac{c(c+8)-(2c-9)}{c+8}
   =
   \frac{c^2+6c+9}{c+8}
   =
   \frac{(c+3)^2}{c+8}.
   $$

   А также
   $$
   \frac{c^2+3c}{c^2-64}
   =
   \frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)}.
   $$

   Тогда
   $$
   \frac{(c+3)^2}{c+8}:\frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)}
   =
   \frac{(c+3)^2}{c+8}\cdot\frac{(c-8)(c+8)}{c(c+3)}
   =
   \frac{(c+3)(c-8)}{c}.
   $$

   Теперь прибавим $$\frac{24}{c}$$:
   $$
   \frac{(c+3)(c-8)}{c}+\frac{24}{c}
   =
   \frac{c^2-5c-24+24}{c}
   =
   \frac{c^2-5c}{c}
   =
   c-5.
   $$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+b}$$
2) $$\frac{x+7}{7-x}$$
3) $$c-5$$