Упр.175 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x+x/y) : (x-x/y);
2) (a/b + (a+b)/(a-b)) * ab2/(a2+b2); Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении х4 + *x3 + *х2 + *х + * = 0 один знак * на некоторое число.
Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать?

1. $$\left(x+\frac{x}{y}\right):\left(x-\frac{x}{y}\right)=\frac{x+\frac{x}{y}}{x-\frac{x}{y}}$$

   Приведём дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{x\left(1+\frac1y\right)}{x\left(1-\frac1y\right)}=\frac{\frac{x(y+1)}{y}}{\frac{x(y-1)}{y}}=\frac{y+1}{y-1}.$$

2. $$\left(\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a-b}\right)\cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a(a-b)+b(a+b)}{b(a-b)}\cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{b(a-b)}\cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}.$$

   Тогда
   $$\frac{a^2+b^2}{b(a-b)}\cdot \frac{ab^2}{a^2+b^2}=\frac{ab}{a-b}.$$

3. $$\left(\frac{m}{m-1}-1\right):\frac{m}{mn-n}$$

   $$\frac{m-(m-1)}{m-1}:\frac{m}{n(m-1)}=\frac{1}{m-1}\cdot \frac{n(m-1)}{m}=\frac{n}{m}.$$

4. $$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot \frac{4ab}{a-b}$$

   $$\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot \frac{4ab}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)\cdot 4}{a-b}=4(a+b).$$

5. $$\frac{a}{b}-\frac{a^2-b^2}{b^2}:\frac{a+b}{b}$$

   $$\frac{a}{b}-\frac{(a-b)(a+b)}{b^2}\cdot \frac{b}{a+b}=\frac{a}{b}-\frac{a-b}{b}=\frac{a-a+b}{b}=1.$$

6. $$\frac{7x}{x+2}-\frac{x-8}{3x+6}\cdot \frac{84}{x^2-8x}$$

   Разложим знаменатели:
   $$3x+6=3(x+2), \qquad x^2-8x=x(x-8).$$

   Тогда
   $$\frac{7x}{x+2}-\frac{x-8}{3(x+2)}\cdot \frac{84}{x(x-8)}=\frac{7x}{x+2}-\frac{28}{x(x+2)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{7x^2-28}{x(x+2)}=\frac{7(x^2-4)}{x(x+2)}=\frac{7(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{7(x-2)}{x}.$$

7. $$\left(a-\frac{9a-9}{a+3}\right):\frac{a^2-3a}{a+3}$$

   $$\frac{a(a+3)-(9a-9)}{a+3}:\frac{a(a-3)}{a+3}=\frac{a^2+3a-9a+9}{a+3}\cdot \frac{a+3}{a(a-3)}.$$

   $$\frac{a^2-6a+9}{a(a-3)}=\frac{(a-3)^2}{a(a-3)}=\frac{a-3}{a}.$$

8. $$\left(\frac{a}{a+2}-\frac{8}{a+8}\right)\cdot \frac{a^2+8a}{a-4}$$

   $$\frac{a(a+8)-8(a+2)}{(a+2)(a+8)}\cdot \frac{a(a+8)}{a-4}=\frac{a^2+8a-8a-16}{(a+2)(a+8)}\cdot \frac{a(a+8)}{a-4}.$$

   $$\frac{a^2-16}{a+2}\cdot \frac{a}{a-4}=\frac{(a-4)(a+4)}{a+2}\cdot \frac{a}{a-4}=\frac{a(a+4)}{a+2}.$$

Ответ

1) $$\frac{y+1}{y-1}$$; 2) $$\frac{ab}{a-b}$$; 3) $$\frac{n}{m}$$; 4) $$4(a+b)$$; 5) $$1$$; 6) $$\frac{7(x-2)}{x}$$; 7) $$\frac{a-3}{a}$$; 8) $$\frac{a(a+4)}{a+2}$$.