Упр.174 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a/3 + a/4) * 6/a2;
2) a2b/(a-b) * (1/b — 1/a); (Из учебника «Арифметика» Л.Ф. Магницкого.)
Двенадцать людей несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок — по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?

1) Упростим выражение:

$$
\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{4}\right)\cdot \frac{6}{a^2}
=
\frac{4a+3a}{12}\cdot \frac{6}{a^2}
=
\frac{7a}{12}\cdot \frac{6}{a^2}
=
\frac{7}{2a}.
$$

2) Упростим выражение:

$$
\frac{a^2b}{a-b}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)
=
\frac{a^2b}{a-b}\cdot \frac{a-b}{ab}
=
a.
$$

3) Упростим выражение:

$$
\left(1+\frac{a}{b}\right):\left(1-\frac{a}{b}\right)
=
\frac{b+a}{b}:\frac{b-a}{b}
=
\frac{b+a}{b}\cdot \frac{b}{b-a}
=
\frac{b+a}{b-a}.
$$

4) Упростим выражение:

$$
\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+1\right)\cdot \frac{b}{a-b}
=
\frac{a^2-2ab+b^2}{b^2}\cdot \frac{b}{a-b}
=
\frac{(a-b)^2}{b^2}\cdot \frac{b}{a-b}
=
\frac{a-b}{b}.
$$

5) Упростим выражение:

$$
\frac{a^2-ab}{b^2-1}\cdot \frac{b+1}{a}-\frac{a}{b-1}
=
\frac{a(a-b)}{(b-1)(b+1)}\cdot \frac{b+1}{a}-\frac{a}{b-1}
=
\frac{a-b}{b-1}-\frac{a}{b-1}
=
\frac{-b}{b-1}
=
\frac{b}{1-b}.
$$

6) Упростим выражение:

$$
\left(\frac{5}{m-n}-\frac{4}{m+n}\right):\frac{m+9n}{m+n}
=
\frac{5(m+n)-4(m-n)}{(m-n)(m+n)}\cdot \frac{m+n}{m+9n}
$$
$$
=
\frac{5m+5n-4m+4n}{(m-n)(m+n)}\cdot \frac{m+n}{m+9n}
=
\frac{m+9n}{m-n}\cdot \frac{1}{m+9n}
=
\frac{1}{m-n}.
$$

7) Упростим выражение:

$$
\frac{x-2}{x+2}\cdot \left(x-\frac{x^2}{x-2}\right)
=
\frac{x-2}{x+2}\cdot \frac{x(x-2)-x^2}{x-2}
=
\frac{x-2}{x+2}\cdot \frac{-2x}{x-2}
=
-\frac{2x}{x+2}.
$$

8) Упростим выражение:

$$
\frac{x^2+x}{4}:\frac{x^2}{4}+\frac{x-1}{x}
=
\frac{x(x+1)}{4}\cdot \frac{4}{x^2}+\frac{x-1}{x}
=
\frac{x+1}{x}+\frac{x-1}{x}
=
\frac{2x}{x}
=
2.
$$

9) Упростим выражение:

$$
\frac{6c^2}{c^2-1}:\left(\frac{1}{c-1}+1\right)
=
\frac{6c^2}{(c-1)(c+1)}:\frac{1+c-1}{c-1}
=
\frac{6c^2}{(c-1)(c+1)}:\frac{c}{c-1}
$$
$$
=
\frac{6c^2}{(c-1)(c+1)}\cdot \frac{c-1}{c}
=
\frac{6c}{c+1}.
$$

10) Упростим выражение:

$$
\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}\right)\cdot \frac{x^2+xy}{x^2+y^2}
=
\frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}\cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2}
$$
$$
=
\frac{x^2-xy+xy+y^2}{x^2-y^2}\cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2}
=
\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2}
=
\frac{x}{x-y}.
$$

11) Пусть было $$x$$ мужчин, $$y$$ женщин, тогда детей было $$12-x-y$$. Составим уравнение по количеству хлеба:

$$
2x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}(12-x-y)=12
$$
$$
8x+2y+12-x-y=48
$$
$$
7x+y=36.
$$

Так как числа должны быть целыми и неотрицательными, подбираем подходящее решение: $$x=5$$, тогда $$y=1$$, а детей $$12-5-1=6$$.

Ответ

1) $$\frac{7}{2a}$$; 2) $$a$$; 3) $$\frac{b+a}{b-a}$$; 4) $$\frac{a-b}{b}$$; 5) $$\frac{b}{1-b}$$; 6) $$\frac{1}{m-n}$$; 7) $$-\frac{2x}{x+2}$$; 8) $$2$$; 9) $$\frac{6c}{c+1}$$; 10) $$\frac{x}{x-y}$$; 11) $$5$$ мужчин, $$1$$ женщина, $$6$$ детей.