Упр.169 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

(a2+a)/(2a-12) * (6a+6)/(2a+12) : (9a3+18a2+9a)/(a2-36) = 1/6.

Подробный ответ

1) Решим уравнение:

$$
\frac{2x+1}{3}-\frac{x-4}{2}=\frac{x+5}{6}
$$
Умножим обе части на $$6$$:
$$
2(2x+1)-3(x-4)=x+5
$$
Раскроем скобки:
$$
4x+2-3x+12=x+5
$$
$$
x+14=x+5
$$
$$
14=5
$$
Получили неверное равенство, значит, уравнение не имеет корней.

2) Докажем тождество:

$$
\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot\frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}=\frac16
$$

Разложим на множители:

$$
a^2+a=a(a+1), \quad 2a-12=2(a-6), \quad 6a+6=6(a+1),
$$
$$
2a+12=2(a+6), \quad 9a^3+18a^2+9a=9a(a+1)^2, \quad a^2-36=(a-6)(a+6)
$$
Тогда
$$
\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}:\frac{9a(a+1)^2}{(a-6)(a+6)}
$$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$
\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot\frac{6(a+1)}{2(a+6)}\cdot\frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2}
$$
Сократим:
$$
\frac{6}{4\cdot 9}=\frac{6}{36}=\frac16
$$
Тождество доказано.