Упр.167 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

(a2+a)/(2a-12) * (6a+6)/(2a+12) : (9a3+18a2+9a)/(a2-36) = 1/6. Упростите выражение:
1) (25-5a+5b-ab)/(25+5a-5b-ab) * (ab-5a-5b+25)/(ab+5a+5b+25);
2) (a2-2ab+b2)/(a2-ab-4a+4b) : (a2-ab+4a-4b)/(a2-16).

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$
\frac{25-5a+5b-ab}{25+5a-5b-ab}\cdot \frac{ab-5a-5b+25}{ab+5a+5b+25}
$$
$$
=\frac{5(5-a)+b(5-a)}{5(5+a)-b(5+a)}\cdot \frac{a(b-5)-5(b-5)}{a(b+5)+5(b+5)}
$$
$$
=\frac{(5-a)(5+b)}{(5+a)(5-b)}\cdot \frac{(a-5)(b-5)}{(a+5)(b+5)}
$$
$$
=\frac{-(a-5)(b+5)}{(a+5)(5-b)}\cdot \frac{(a-5)(b-5)}{(a+5)(b+5)}
=\frac{(a-5)^2}{(a+5)^2}.
$$

2) Упростим выражение:

$$
\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-ab-4a+4b}:\frac{a^2-ab+4a-4b}{a^2-16}
$$
$$
=\frac{(a-b)^2}{a(a-b)-4(a-b)}:\frac{a(a-b)+4(a-b)}{(a-4)(a+4)}
$$
$$
=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a-4)}:\frac{(a-b)(a+4)}{(a-4)(a+4)}
$$
$$
=\frac{a-b}{a-4}\cdot \frac{(a-4)(a+4)}{(a-b)(a+4)}=1.
$$

3) Докажем тождество:

$$
\frac{a^2+a}{2a-12}\cdot \frac{6a+6}{2a+12}:\frac{9a^3+18a^2+9a}{a^2-36}
$$
$$
=\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot \frac{6(a+1)}{2(a+6)}:\frac{9a(a^2+2a+1)}{(a-6)(a+6)}
$$
$$
=\frac{a(a+1)}{2(a-6)}\cdot \frac{3(a+1)}{a+6}\cdot \frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2}
$$
$$
=\frac{3a(a+1)^2}{4(a-6)(a+6)}\cdot \frac{(a-6)(a+6)}{9a(a+1)^2}
=\frac{1}{6}.
$$