Упр.165 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (25-5a+5b-ab)/(25+5a-5b-ab) * (ab-5a-5b+25)/(ab+5a+5b+25);
2) (a2-2ab+b2)/(a2-ab-4a+4b) : (a2-ab+4a-4b)/(a2-16). Дано: х2 + 1/x2 = 6. Найдите значение выражения x — 1/x.

1. $$\frac{25-5a+5b-ab}{25+5a-5b-ab}\cdot\frac{ab-5a-5b+25}{ab+5a+5b+25}$$

   Разложим на множители:
   $$25-5a+5b-ab=(5-a)(5+b),$$
   $$25+5a-5b-ab=(5+a)(5-b),$$
   $$ab-5a-5b+25=(a-5)(b-5),$$
   $$ab+5a+5b+25=(a+5)(b+5).$$

   Тогда
   $$
   \frac{(5-a)(5+b)}{(5+a)(5-b)}\cdot\frac{(a-5)(b-5)}{(a+5)(b+5)}.
   $$
   Так как $$5-a=-(a-5)$$ и $$b-5=-(5-b),$$ получаем
   $$
   \frac{(a-5)^2}{(a+5)^2}.
   $$

2. $$\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-ab-4a+4b}:\frac{a^2-ab+4a-4b}{a^2-16}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,$$
   $$a^2-ab-4a+4b=a(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a-4),$$
   $$a^2-ab+4a-4b=a(a-b)+4(a-b)=(a-b)(a+4),$$
   $$a^2-16=(a-4)(a+4).$$

   Тогда
   $$
   \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a-4)}:\frac{(a-b)(a+4)}{(a-4)(a+4)}
   =
   \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a-4)}\cdot\frac{(a-4)(a+4)}{(a-b)(a+4)}=1.
   $$

3. $$x^2+\frac{1}{x^2}=6$$

   Возведём в квадрат выражение $$x-\frac{1}{x}$$:
   $$
   \left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}.
   $$
   Тогда
   $$
   \left(x-\frac{1}{x}\right)^2=6-2=4.
   $$
   Следовательно,
   $$
   x-\frac{1}{x}=2 \quad \text{или} \quad x-\frac{1}{x}=-2.
   $$

Ответ

1) $$\frac{(a-5)^2}{(a+5)^2}$$; 2) $$1$$; 3) $$2$$ или $$-2$$.