Упр.164 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a2-36)/(a2+ab-6a-6b) : (a2+ab+6a+6b)/(a2+2ab+b2);
2) (a2+a-ab-b)/(a2+a+ab+b) : (a2-a-ab+b)/(a2-a+ab-b). Дано: х2 + 16/x2 = 41. Найдите значение выражения х + 4/x.

1. $$\frac{a^2-36}{a^2+ab-6a-6b}:\frac{a^2+ab+6a+6b}{a^2+2ab+b^2}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-36=(a-6)(a+6),$$
   $$a^2+ab-6a-6b=a(a+b)-6(a+b)=(a+b)(a-6),$$
   $$a^2+ab+6a+6b=a(a+b)+6(a+b)=(a+b)(a+6),$$
   $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.$$

   Тогда
   $$
   \frac{(a-6)(a+6)}{(a+b)(a-6)}:\frac{(a+b)(a+6)}{(a+b)^2}
   =
   \frac{(a-6)(a+6)}{(a+b)(a-6)}\cdot\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a+6)}=1.
   $$

2. $$\frac{a^2+a-ab-b}{a^2+a+ab+b}:\frac{a^2-a-ab+b}{a^2-a+ab-b}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2+a-ab-b=a(a+1)-b(a+1)=(a+1)(a-b),$$
   $$a^2+a+ab+b=a(a+1)+b(a+1)=(a+1)(a+b),$$
   $$a^2-a-ab+b=a(a-1)-b(a-1)=(a-1)(a-b),$$
   $$a^2-a+ab-b=a(a-1)+b(a-1)=(a-1)(a+b).$$

   Тогда
   $$
   \frac{(a+1)(a-b)}{(a+1)(a+b)}:\frac{(a-1)(a-b)}{(a-1)(a+b)}
   =
   \frac{(a+1)(a-b)}{(a+1)(a+b)}\cdot\frac{(a-1)(a+b)}{(a-1)(a-b)}=1.
   $$

3. $$x^2+\frac{16}{x^2}=41.$$

   Найдём значение выражения $$x+\frac{4}{x}.$$ Возведём его в квадрат:
   $$
   \left(x+\frac{4}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{4}{x}+\frac{16}{x^2}
   =x^2+8+\frac{16}{x^2}.
   $$

   По условию $$x^2+\frac{16}{x^2}=41,$$ значит
   $$
   \left(x+\frac{4}{x}\right)^2=41+8=49.
   $$
   Тогда
   $$
   x+\frac{4}{x}=7 \quad \text{или} \quad x+\frac{4}{x}=-7.
   $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$; 3) $$7$$ или $$-7$$.