Упр.163 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Дано: х2 + 1/x2 = 6. Найдите значение выражения x — 1/x. Известно, что 3х + 1/x= -4. Найдите значение выражения 9×2 + 1/х2.

1) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$
x^2+\frac{1}{x^2}= \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2=t^2+2.
$$

По условию $$x^2+\frac{1}{x^2}=6,$$ значит

$$
t^2+2=6
$$
$$
t^2=4
$$
$$
t=2 \text{ или } t=-2.
$$

Следовательно,

$$
x-\frac{1}{x}=2 \text{ или } x-\frac{1}{x}=-2.
$$

2) Пусть $$3x+\frac{1}{x}=-4.$$ Тогда

$$
9x^2+\frac{1}{x^2}=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2-6.
$$

Подставим значение:

$$
9x^2+\frac{1}{x^2}=(-4)^2-6=16-6=10.
$$

Ответ

1) $$2$$ или $$-2$$; 2) $$10$$.