Упр.131 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x/3 + (x-1)/2 = 4;
2) (x-4)/2 — (x-1)/5 = 3. Докажите тождество:
3/(1-a2) + 3/(1+a2) + 6/(1+a4) + 12/(1+a8) + 24/(1+a16) = 48/(1-a32)

1. $$\frac{x}{3}+\frac{x-1}{2}=4$$

   Умножим обе части уравнения на $$6$$:

   $$2x+3(x-1)=24$$

   $$2x+3x-3=24$$

   $$5x=27$$

   $$x=\frac{27}{5}=5{,}4$$

2. $$\frac{x-4}{2}-\frac{x-1}{5}=3$$

   Умножим обе части уравнения на $$10$$:

   $$5(x-4)-2(x-1)=30$$

   $$5x-20-2x+2=30$$

   $$3x=48$$

   $$x=16$$

3. Преобразуем левую часть, используя формулу $$\frac{1}{1-a^{2^n}}-\frac{1}{1+a^{2^n}}=\frac{2a^{2^n}}{1-a^{2^{n+1}}}$$:

   $$
   \frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}
   =\frac{3(1+a^2)+3(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}
   =\frac{6}{1-a^4}
   $$

   $$
   \frac{6}{1-a^4}+\frac{6}{1+a^4}
   =\frac{12}{1-a^8}
   $$

   $$
   \frac{12}{1-a^8}+\frac{12}{1+a^8}
   =\frac{24}{1-a^{16}}
   $$

   $$
   \frac{24}{1-a^{16}}+\frac{24}{1+a^{16}}
   =\frac{48}{1-a^{32}}
   $$

   Следовательно, тождество верно.

Ответ

1) $$x=\frac{27}{5}=5{,}4$$; 2) $$x=16$$; 3) тождество верно.