Упр.129 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

3/(1-a2) + 3/(1+a2) + 6/(1+a4) + 12/(1+a8) + 24/(1+a16) = 48/(1-a32) Упростите выражение:
1/((a-1)(a-3)) + 1/((a-3)(a-5)) + 1/((a-5)(a-7)).

Подробный ответ

1) Докажем тождество:

$$
\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}+\frac{6}{1+a^4}+\frac{12}{1+a^8}+\frac{24}{1+a^{16}}=\frac{48}{1-a^{32}}.
$$

Преобразуем сумму, последовательно приводя дроби к общему знаменателю:

$$
\frac{3}{1-a^2}+\frac{3}{1+a^2}
=
\frac{3(1+a^2)+3(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}
=
\frac{6}{1-a^4}.
$$

Тогда

$$
\frac{6}{1-a^4}+\frac{6}{1+a^4}
=
\frac{12}{1-a^8},
$$

$$
\frac{12}{1-a^8}+\frac{12}{1+a^8}
=
\frac{24}{1-a^{16}},
$$

$$
\frac{24}{1-a^{16}}+\frac{24}{1+a^{16}}
=
\frac{48}{1-a^{32}}.
$$

Следовательно, тождество верно.

2) Упростим выражение:

$$
\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}.
$$

Приведём к общему виду, разложив каждую дробь на разность простых дробей:

$$
\frac{1}{(a-1)(a-3)}=\frac12\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-1}\right),
$$
$$
\frac{1}{(a-3)(a-5)}=\frac12\left(\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-3}\right),
$$
$$
\frac{1}{(a-5)(a-7)}=\frac12\left(\frac{1}{a-7}-\frac{1}{a-5}\right).
$$

Складываем:

$$
\frac12\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-1}\right)
+\frac12\left(\frac{1}{a-5}-\frac{1}{a-3}\right)
+\frac12\left(\frac{1}{a-7}-\frac{1}{a-5}\right)
=
\frac12\left(\frac{1}{a-7}-\frac{1}{a-1}\right).
$$

$$
\frac12\left(\frac{1}{a-7}-\frac{1}{a-1}\right)
=
\frac12\cdot \frac{(a-1)-(a-7)}{(a-1)(a-7)}
=
\frac12\cdot \frac{6}{(a-1)(a-7)}
=
\frac{3}{(a-1)(a-7)}.
$$