Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/(1-a) + 1/(1+a) + 2/(1+a2) + 4/(1+a4) + 8/(1+a8) + 16/(1+a16) = 32/(1-a32). Упростите выражение:
1/((a-1)(a-2)) + 1/((a-2)(a-3)) + 1/((a-3)(a-4)).

1) Преобразуем левую часть:

$$
\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}
$$
$$
=\frac{1+a}{(1-a)(1+a)}+\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}
$$
$$
=\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}.
$$

Далее последовательно объединяем пары:

$$
\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}
=\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}
=\frac{4}{1-a^4},
$$
$$
\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}
=\frac{8}{1-a^8},
$$
$$
\frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8}
=\frac{16}{1-a^{16}},
$$
$$
\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}
=\frac{32}{1-a^{32}}.
$$

Значит,

$$
\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}
=\frac{32}{1-a^{32}}.
$$

Тождество доказано.

2) Упростим выражение:

$$
\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}.
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}.
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)
$$
$$
= a^2-7a+12+a^2-5a+4+a^2-3a+2
$$
$$
=3a^2-15a+18
=3(a^2-5a+6)
=3(a-2)(a-3).
$$

Тогда

$$
\frac{3(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}
=\frac{3}{(a-1)(a-4)}.
$$

Ответ

$$
\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}
=\frac{32}{1-a^{32}},
$$
$$
\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}
=\frac{3}{(a-1)(a-4)}.
$$