Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/((a-1)(a-3)) + 1/((a-3)(a-5)) + 1/((a-5)(a-7)). Докажите тождество:
bc/((a-b)(a-c)) + ac/((b-a)(b-c)) + ab/((c-a)(c-b)) = 1.

1) Упростим выражение

$$
\frac{1}{(a-1)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-5)}+\frac{1}{(a-5)(a-7)}
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{(a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
(a-5)(a-7)+(a-1)(a-7)+(a-1)(a-3)
$$
$$
= a^2-12a+35+a^2-8a+7+a^2-4a+3
$$
$$
= 3a^2-24a+45
$$

Тогда

$$
\frac{3a^2-24a+45}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}
=
\frac{3(a^2-8a+15)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}
$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$
a^2-8a+15=(a-3)(a-5)
$$

Сокращаем:

$$
\frac{3(a-3)(a-5)}{(a-1)(a-3)(a-5)(a-7)}
=
\frac{3}{(a-1)(a-7)}
$$

2) Докажем тождество

$$
\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1
$$

Приведём к общему знаменателю, учитывая, что $$b-a=-(a-b)$$, $$c-a=-(a-c)$$, $$c-b=-(b-c)$$:

$$
\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)
$$
$$
= b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2
$$
$$
= (a-b)(a-c)(b-c)
$$

Следовательно,

$$
\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1
$$

Тождество доказано.

Ответ

$$
\frac{3}{(a-1)(a-7)}
$$
; $$1$$.