Упр.126 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/((a-1)(a-2)) + 1/((a-2)(a-3)) + 1/((a-3)(a-4)). Докажите тождество:
1/((a-b)(a-c)) — 1/((a-b)(b-c)) + 1/((c-a)(c-b)) = 0.

1) Упростим выражение

$$
\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}
$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$
\frac{(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}
$$

Раскроем скобки в числителе:

$$
(a-3)(a-4)+(a-1)(a-4)+(a-1)(a-2)
$$
$$
= a^2-7a+12+a^2-5a+4+a^2-3a+2
$$
$$
= 3a^2-15a+18
$$
$$
= 3(a^2-5a+6)
$$
$$
= 3(a-2)(a-3)
$$

Тогда

$$
\frac{3(a-2)(a-3)}{(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)}=\frac{3}{(a-1)(a-4)}
$$

2) Докажем тождество

$$
\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0
$$

Так как $$c-a=-(a-c)$$ и $$c-b=-(b-c)$$, то

$$
\frac{1}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{(a-c)(b-c)}
$$

Тогда левая часть равна

$$
\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}
$$

Приведём к общему знаменателю $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$:

$$
\frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}
$$

$$
\frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0
$$

Ответ

$$
\frac{3}{(a-1)(a-4)}
$$

Тождество верно.