Упр.125 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
bc/((a-b)(a-c)) + ac/((b-a)(b-c)) + ab/((c-a)(c-b)) = 1. Докажите тождество:
1) (a+3)/(a2-3a) + (a-3)/(3a+9) + 12/(9-a2) = (a-3)/3a;
2) (b-4)/(2a-1) — (b2-2b-24)/(2ab-4-b-8a) = 2/(2a-1).
1) Приведём дроби к общему знаменателю:
$$
\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}
=
\frac{a+3}{a(a-3)}+\frac{a-3}{3(a+3)}-\frac{12}{(a-3)(a+3)}.
$$
Общий знаменатель: $$3a(a-3)(a+3).$$ Тогда
$$
\frac{3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a}{3a(a-3)(a+3)}.
$$
Раскроем скобки в числителе:
$$
3(a^2+6a+9)+a(a^2-6a+9)-36a
=
a^3-3a^2-9a+27.
$$
Вынесем множители:
$$
a^3-3a^2-9a+27=(a-3)(a^2-9)=(a-3)^2(a+3).
$$
Тогда
$$
\frac{(a-3)^2(a+3)}{3a(a-3)(a+3)}=\frac{a-3}{3a}.
$$
Следовательно, тождество верно.
2) Преобразуем вторую часть:
$$
2ab-4-b+8a=b(2a-1)+4(2a-1)=(2a-1)(b+4).
$$
Тогда
$$
\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}
=
\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{(2a-1)(b+4)}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)}{(2a-1)(b+4)}.
$$
Упростим числитель:
$$
(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)
=
b^2-16-b^2+2b+24
=
2b+8
=
2(b+4).
$$
Получаем:
$$
\frac{2(b+4)}{(2a-1)(b+4)}=\frac{2}{2a-1}.
$$
Тождество доказано.
3) Для первого тождества:
$$
\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1.
$$
Заменим $$b-a=-(a-b)$$ и $$c-a=-(a-c)$$:
$$
\frac{bc}{(a-b)(a-c)}-\frac{ac}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(a-c)(b-c)}.
$$
Приведём к общему знаменателю $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$:
$$
\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.
$$
Числитель:
$$
bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)
=
b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2.
$$
Сгруппируем:
$$
(b^2c-ab^2)-(bc^2-a^2b)-(a^2c-ac^2)
=
b^2(c-a)-bc(c-a)+ac(c-a).
$$
Вынесем общий множитель:
$$
(c-a)(b^2-bc-ab+ac)
=
(c-a)(b-a)(b-c).
$$
Так как $$c-a=-(a-c)$$, то
$$
\frac{(c-a)(b-a)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1.
$$
Тождество доказано.
Ответ
$$
\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1;
$$
$$
\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a};
$$
$$
\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{2}{2a-1}.
$$
