Упр.123 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a+3)/(a2-3a) + (a-3)/(3a+9) + 12/(9-a2) = (a-3)/3a;
2) (b-4)/(2a-1) — (b2-2b-24)/(2ab-4-b-8a) = 2/(2a-1). Докажите тождество:
(3a2+24)/(a3+8) — 6/(a2-2a+4) — 1/(a+2) = 2/(a+2).

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:
$$
\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}
=\frac{a+3}{a(a-3)}+\frac{a-3}{3(a+3)}-\frac{12}{(a-3)(a+3)}.
$$
Приведём к общему знаменателю $$3a(a-3)(a+3)$$:
$$
\frac{3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a}{3a(a-3)(a+3)}.
$$
Раскроем скобки:
$$
3(a^2+6a+9)+a(a^2-6a+9)-36a
=a^3-3a^2-9a+27.
$$
Тогда
$$
\frac{a^3-3a^2-9a+27}{3a(a-3)(a+3)}
=\frac{a^2(a-3)-9(a-3)}{3a(a-3)(a+3)}
=\frac{(a-3)(a^2-9)}{3a(a-3)(a+3)}.
$$
Сократим на $$a-3$$ и разложим $$a^2-9=(a-3)(a+3)$$:
$$
\frac{(a-3)(a+3)}{3a(a+3)}=\frac{a-3}{3a}.
$$
Преобразуем левую часть:
$$
\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}.
$$
Заметим, что
$$
2ab-4-b+8a=b(2a-1)+4(2a-1)=(2a-1)(b+4).
$$
Тогда
$$
\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{(2a-1)(b+4)}.
$$
Приведём к общему знаменателю $$ (2a-1)(b+4) $$:
$$
\frac{(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)}{(2a-1)(b+4)}.
$$
Упростим числитель:
$$
(b-4)(b+4)-b^2+2b+24
=b^2-16-b^2+2b+24
=2b+8
=2(b+4).
$$
Получаем:
$$
\frac{2(b+4)}{(2a-1)(b+4)}=\frac{2}{2a-1}.
$$
Преобразуем левую часть:
$$
\frac{3a^2+24}{a^3+8}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}.
$$
Разложим $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)$$:
$$
\frac{3a^2+24}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}.
$$
Приведём к общему знаменателю $$ (a+2)(a^2-2a+4) $$:
$$
\frac{3a^2+24-6(a+2)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}.
$$
Упростим числитель:
$$
3a^2+24-6a-12-a^2+2a-4=2a^2-4a+8=2(a^2-2a+4).
$$
Тогда
$$
\frac{2(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{2}{a+2}.
$$