Упр.121 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(3a2+24)/(a3+8) — 6/(a2-2a+4) — 1/(a+2) = 2/(a+2). Найдите разность дробей:
1) (a+1)/(a3-1) — 1/(a2+a+1);
2) 1/(b+3) — (b2 — 6b)/(b3+27).

1) Преобразуем левую часть тождества:

$$
\frac{3a^2+24}{a^3+8}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}
$$

Так как

$$
a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),
$$

то

$$
\frac{3a^2+24}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}.
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{3a^2+24-6(a+2)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}.
$$

Упростим числитель:

$$
3a^2+24-6a-12-a^2+2a-4=2a^2-4a+8=2(a^2-2a+4).
$$

Тогда

$$
\frac{2(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{2}{a+2}.
$$

Тождество доказано.

2) Найдём разность дробей:

$$
\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}.
$$

Разложим знаменатель:

$$
a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).
$$

Тогда

$$
\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1}
=
\frac{a+1-(a-1)}{a^3-1}
=
\frac{2}{a^3-1}.
$$

3) Найдём разность дробей:

$$
\frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{b^3+27}.
$$

Так как

$$
b^3+27=(b+3)(b^2-3b+9),
$$

то

$$
\frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{(b+3)(b^2-3b+9)}.
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{b^2-3b+9-(b^2-6b)}{b^3+27}
=
\frac{3b+9}{b^3+27}
=
\frac{3(b+3)}{(b+3)(b^2-3b+9)}
=
\frac{3}{b^2-3b+9}.
$$

Ответ

$$
\frac{2}{a+2},\quad \frac{2}{a^3-1},\quad \frac{3}{b^2-3b+9}
$$