Упр.120 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (9m2-3mn+n2)/(3m-n) — (9m2+3mn+n2)/(3m+n);
2) 1 — (2b-1)/(4b2-2b+1) — 2b/(2b+1). Докажите тождество:
1) 1/(6a-4b) — 1/(6a+4b) — 3a/(4b2-9a2) = 1/(3a-2b);
2) (c+2)/(c2+3c) — 1/(3c+9) — 2/3c = 0.

1. $$\frac{9m^2-3mn+n^2}{3m-n}-\frac{9m^2+3mn+n^2}{3m+n}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(3m+n)(9m^2-3mn+n^2)-(3m-n)(9m^2+3mn+n^2)}{(3m-n)(3m+n)}$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$
   27m^3+n^3-27m^3-n^3=2n^3
   $$

   Тогда
   $$\frac{2n^3}{9m^2-n^2}.$$

2. $$1-\frac{2b-1}{4b^2-2b+1}-\frac{2b}{2b+1}$$

   Заметим, что
   $$4b^2-2b+1=(2b+1)(2b-1)+2?$$

   Удобнее привести к общему знаменателю:
   $$
   1-\frac{2b-1}{4b^2-2b+1}-\frac{2b}{2b+1}
   =
   \frac{(2b+1)(4b^2-2b+1)-(2b-1)(2b+1)-2b(4b^2-2b+1)}{(2b+1)(4b^2-2b+1)}
   $$

   Числитель:
   $$
   (2b+1)(4b^2-2b+1)-(2b-1)(2b+1)-2b(4b^2-2b+1)=2-2b
   $$

   Поэтому
   $$\frac{2-2b}{8b^3+1}.$$

3. $$\frac{1}{6a-4b}-\frac{1}{6a+4b}-\frac{3a}{4b^2-9a^2}$$

   Разложим знаменатели:
   $$
   6a-4b=2(3a-2b), \quad 6a+4b=2(3a+2b), \quad 4b^2-9a^2=-(3a-2b)(3a+2b)
   $$

   Тогда
   $$
   \frac{1}{2(3a-2b)}-\frac{1}{2(3a+2b)}+\frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}
   $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$
   \frac{3a+2b-3a+2b+6a}{2(3a-2b)(3a+2b)}
   =
   \frac{2(3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)}
   =
   \frac{1}{3a-2b}
   $$

4. $$\frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}$$

   Разложим знаменатели:
   $$
   c^2+3c=c(c+3), \quad 3c+9=3(c+3)
   $$

   Тогда
   $$
   \frac{c+2}{c(c+3)}-\frac{1}{3(c+3)}-\frac{2}{3c}
   $$

   Приведём к общему знаменателю $3c(c+3)$:
   $$
   \frac{3(c+2)-c-2(c+3)}{3c(c+3)}=\frac{3c+6-c-2c-6}{3c(c+3)}=\frac{0}{3c(c+3)}=0
   $$

Ответ

1) $$\frac{2n^3}{9m^2-n^2}$$

2) $$\frac{2-2b}{8b^3+1}$$

3) $$\frac{1}{3a-2b}$$

4) $$0$$