Упр.1150 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (2b — 1)(b + 2) < (3b - 1)(2b + 1); 2) 25m^2 + n^2 >= 10mn;
3) 2a^2 — 4a + 5 > 0;
4) x^2 + x + 1 > 0;
5) 4y^2 — 12 >= 12y — 21;
6) a^2 + b^2 + 2 >= 2(a + b);
7) a^2 + b^2 + c^2 + 3 >= 2(a + b + c);
8) 2a^2 + 5b^2 + 2ab + 1 > 0;
9) x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4y.

Подробный ответ

$$\begin{aligned}
(2b-1)(b+2) < (3b-1)(2b+1) \\
2b^2+3b-2 < 6b^2+b-1 \\
0 < 4b^2-2b+1
\end{aligned}$$
Так как
$$4b^2-2b+1=\left(2b-\frac12\right)^2+\frac34>0,$$
неравенство верно при любых значениях $$b$$.
$$\begin{aligned}
25m^2+n^2 ≥ 10mn \\
25m^2-10mn+n^2 ≥ 0 \\
(5m-n)^2 ≥ 0
\end{aligned}$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$m$$ и $$n$$.
$$\begin{aligned}
2a^2-4a+5 > 0 \\
2(a^2-2a+1)+3 > 0 \\
2(a-1)^2+3 > 0
\end{aligned}$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.
$$\begin{aligned}
x^2+x+1 > 0 \\
x^2+x+\frac14+\frac34 > 0 \\
\left(x+\frac12\right)^2+\frac34 > 0
\end{aligned}$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$x$$.
$$\begin{aligned}
4y^2-12 ≥ 12y-21 \\
4y^2-12y+9 ≥ 0 \\
(2y-3)^2 ≥ 0
\end{aligned}$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$y$$.
$$\begin{aligned}
a^2+b^2+2 ≥ 2(a+b) \\
a^2+b^2+2-2a-2b ≥ 0 \\
(a-1)^2+(b-1)^2 ≥ 0
\end{aligned}$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
$$\begin{aligned}
a^2+b^2+c^2+3 ≥ 2(a+b+c) \\
a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c ≥ 0 \\
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 ≥ 0
\end{aligned}$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
$$\begin{aligned}
2a^2+5b^2+2ab+1 > 0 \\
a^2+2ab+b^2+a^2+4b^2+1 > 0 \\
(a+b)^2+a^2+4b^2+1 > 0
\end{aligned}$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
$$\begin{aligned}
x^2+y^2+15 > 6x+4y \\
x^2-6x+y^2-4y+15 > 0 \\
(x-3)^2+(y-2)^2+2 > 0
\end{aligned}$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$x$$ и $$y$$.