Упр.1129 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

корень (2 + корень 3) * корень (2 + корень (2 + корень 3)) * корень (корень (2 + корень (2 + корень 3))) * корень (корень (корень (2 + корень (2 + корень 3)))) = 1.

Обозначим

$$a=\sqrt{2+\sqrt3}, \qquad b=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}.$$

Тогда данное произведение можно записать так:

$$a \cdot b \cdot \sqrt{2-b}\,.$$

Рассмотрим произведение под корнем:

$$b(2-b)=2b-b^2.$$

Так как $$b^2=2+\sqrt{2+\sqrt3},$$ то

$$2-b^2=2-\left(2+\sqrt{2+\sqrt3}\right)=-\sqrt{2+\sqrt3},$$

и удобнее преобразовать выражение иначе:

$$\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$$

$$=\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt3}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\right)}.$$

Используем тождество $$\left(2+\sqrt{2+\sqrt3}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\right)=4-\left(2+\sqrt3\right).$$ Тогда

$$=\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{4-(2+\sqrt3)}$$

$$=\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}$$

$$=\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}$$

$$=\sqrt{4-3}=\sqrt1=1.$$

Ответ

$$1$$