Упр.1085 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) ((a+4)/(a-4) — (a-4)/(a+4)) * (16-a2)/32a3;
2) (7x-4x/(x-3)) : (14x-50)/(3x-9);

1. $$\left(\frac{a+4}{a-4}-\frac{a-4}{a+4}\right)\cdot \frac{16-a^2}{32a^3}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a+4)^2-(a-4)^2}{(a-4)(a+4)}\cdot \frac{16-a^2}{32a^3}$$

   $$\frac{a^2+8a+16-a^2+8a-16}{a^2-16}\cdot \frac{16-a^2}{32a^3}
   =\frac{16a}{a^2-16}\cdot \frac{16-a^2}{32a^3}$$

   Так как $$16-a^2=-(a^2-16),$$ получаем:
   $$\frac{16a}{a^2-16}\cdot \frac{-(a^2-16)}{32a^3}=-\frac{16a}{32a^3}=-\frac{1}{2a^2}.$$

2. $$\left(7x-\frac{4x}{x-3}\right):\frac{14x-50}{3x-9}$$

   $$7x-\frac{4x}{x-3}=\frac{7x(x-3)-4x}{x-3}=\frac{7x^2-25x}{x-3}=\frac{x(7x-25)}{x-3}$$

   $$\frac{14x-50}{3x-9}=\frac{2(7x-25)}{3(x-3)}$$

   Тогда
   $$\frac{x(7x-25)}{x-3}:\frac{2(7x-25)}{3(x-3)}
   =\frac{x(7x-25)}{x-3}\cdot \frac{3(x-3)}{2(7x-25)}=\frac{3x}{2}.$$

3. $$\frac{2a}{a-2}+\frac{a+7}{8-4a}\cdot \frac{32}{7a+a^2}$$

   $$8-4a=4(2-a)=-4(a-2), \qquad 7a+a^2=a(a+7)$$

   Тогда
   $$\frac{2a}{a-2}+\frac{a+7}{-4(a-2)}\cdot \frac{32}{a(a+7)}
   =\frac{2a}{a-2}-\frac{8}{a(a-2)}$$

   $$\frac{2a^2-8}{a(a-2)}=\frac{2(a^2-4)}{a(a-2)}=\frac{2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}=\frac{2(a+2)}{a}.$$

4. $$\left(\frac{9c}{c-8}+\frac{7c}{c^2-16c+64}\right):\frac{9c-65}{c^2-64}-\frac{8c+64}{c-8}$$

   $$c^2-16c+64=(c-8)^2,\qquad c^2-64=(c-8)(c+8)$$

   $$\frac{9c}{c-8}+\frac{7c}{(c-8)^2}
   =\frac{9c(c-8)+7c}{(c-8)^2}
   =\frac{c(9c-65)}{(c-8)^2}$$

   Тогда
   $$\frac{c(9c-65)}{(c-8)^2}:\frac{9c-65}{(c-8)(c+8)}
   =\frac{c(9c-65)}{(c-8)^2}\cdot \frac{(c-8)(c+8)}{9c-65}
   =\frac{c(c+8)}{c-8}$$

   $$\frac{c(c+8)}{c-8}-\frac{8c+64}{c-8}
   =\frac{c^2+8c-8c-64}{c-8}
   =\frac{c^2-64}{c-8}
   =\frac{(c-8)(c+8)}{c-8}=c+8.$$

5. $$\left(\frac{2x}{x^3+1}:\frac{1-x}{x^2-x+1}+\frac{2}{x-1}\right)\cdot \frac{x^2-2x+1}{4}:\frac{x-1}{x+1}$$

   $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1), \qquad x^2-2x+1=(x-1)^2$$

   $$\frac{2x}{x^3+1}:\frac{1-x}{x^2-x+1}
   =\frac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)}\cdot \frac{x^2-x+1}{1-x}
   =\frac{2x}{(x+1)(1-x)}$$

   Тогда
   $$\frac{2x}{(x+1)(1-x)}+\frac{2}{x-1}
   =\frac{2x-2(x+1)}{(x+1)(1-x)}
   =\frac{-2}{(x+1)(1-x)}$$

   Теперь умножим на остальные множители:
   $$\frac{-2}{(x+1)(1-x)}\cdot \frac{(x-1)^2}{4}:\frac{x-1}{x+1}
   =\frac{-2}{(x+1)(1-x)}\cdot \frac{(x-1)^2}{4}\cdot \frac{x+1}{x-1}$$

   $$=\frac{-2(x-1)}{4(1-x)}=\frac{-2(x-1)}{-4(x-1)}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$-\frac{1}{2a^2}$$; 2) $$\frac{3x}{2}$$; 3) $$\frac{2(a+2)}{a}$$; 4) $$c+8$$; 5) $$\frac{1}{2}$$.