Упр.1076 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1/a(a+3) + 1/((a+3)(a+6)) + 1/((a+6)(a+9)) + 1/((a+9)(a+12)).

Преобразуем каждую дробь, выделяя разность:

$$
\frac{1}{a(a+3)}=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}\right),\quad
\frac{1}{(a+3)(a+6)}=\frac13\left(\frac1{a+3}-\frac1{a+6}\right),
$$
$$
\frac{1}{(a+6)(a+9)}=\frac13\left(\frac1{a+6}-\frac1{a+9}\right),\quad
\frac{1}{(a+9)(a+12)}=\frac13\left(\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right).
$$

Тогда

$$
\frac{1}{a(a+3)}+\frac{1}{(a+3)(a+6)}+\frac{1}{(a+6)(a+9)}+\frac{1}{(a+9)(a+12)}
$$
$$
=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}+\frac1{a+3}-\frac1{a+6}+\frac1{a+6}-\frac1{a+9}+\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right)
$$
$$
=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+12}\right).
$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+12}\right)
=\frac13\cdot\frac{a+12-a}{a(a+12)}
=\frac13\cdot\frac{12}{a(a+12)}
=\frac{4}{a(a+12)}.
$$

Ответ: $$\frac{4}{a(a+12)}$$