Упр.1009 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) ax^2 + 2x — 1 = 0;
2) (a + 1)x^2 — (2a — 3)x + a = 0;
3) (a — 3)x^2 — 2(a — 5)x + a — 2 = 0.

1. $$ax^2+2x-1=0.$$

   Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно:

   $$D>0 \quad \text{и} \quad a\ne 0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=2^2-4\cdot a\cdot(-1)=4+4a.$$

   Тогда

   $$4+4a>0 \;\Rightarrow\; a>-1.$$

   С учётом условия $a\ne 0$ получаем:

   $$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty).$$

2. $$ (a+1)x^2-(2a-3)x+a=0.$$

   Для двух различных действительных корней нужно:

   $$D>0 \quad \text{и} \quad a+1\ne 0 \; (a\ne -1).$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=(-(2a-3))^2-4(a+1)a=(2a-3)^2-4a(a+1).$$

   Тогда

   $$
   (2a-3)^2-4a(a+1)>0 \\
   4a^2-12a+9-4a^2-4a>0 \\
   -16a+9>0 \\
   a<\frac{9}{16}.
   $$

   С учётом $a\ne -1$:

   $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right).$$

3. $$ (a-3)x^2-2(a-5)x+a-2=0.$$

   Для двух различных действительных корней нужно:

   $$D>0 \quad \text{и} \quad a-3\ne 0 \; (a\ne 3).$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-2(a-5))^2-4(a-3)(a-2)=4(a-5)^2-4(a-3)(a-2).$$

   Тогда

   $$
   4(a-5)^2-4(a-3)(a-2)>0 \\
   4(a^2-10a+25)-4(a^2-5a+6)>0 \\
   4a^2-40a+100-4a^2+20a-24>0 \\
   -20a+76>0 \\
   a<\frac{76}{20}=\frac{19}{5}.
   $$

   С учётом $a\ne 3$:

   $$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{19}{5}\right).$$

Ответ

1) $$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty).$$

2) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right).$$

3) $$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{19}{5}\right).$$