Упр.1000 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x^2 + 3x — a = 0 не имеет корней;
2) 2x^2 — 8x + 5a = 0 имеет хотя бы один действительный корень?

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+3x-a=0.$$

Его дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-a)=9+4a.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$:

$$9+4a<0$$

$$4a<-9$$

$$a<-\frac{9}{4}.$$

Значит, уравнение не имеет корней при $$a<-\frac{9}{4}.$$

2) Рассмотрим уравнение $$2x^2-8x+5a=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 5a=64-40a.$$

Чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, нужно $$D\ge 0$$:

$$64-40a\ge 0$$

$$-40a\ge -64$$

$$a\le \frac{64}{40}=\frac{8}{5}.$$

Следовательно, уравнение имеет хотя бы один действительный корень при $$a\le \frac{8}{5}.$$

Ответ

1) $$a\in\left(-\infty;-\frac{9}{4}\right);$$

2) $$a\in\left(-\infty;\frac{8}{5}\right].$$