Доп задание на стр.223 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение:

1. $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4,\quad a>0,\ b>0.$$

   По неравенству Коши:

   $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},\qquad \frac{\frac1a+\frac1b}{2}\ge \sqrt{\frac1{ab}}.$$

   Перемножим неравенства:

   $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4\sqrt{ab\cdot \frac1{ab}}=4.$$

2. $$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8abc,\quad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0.$$

   По неравенству Коши:

   $$a+b\ge 2\sqrt{ab},\qquad b+c\ge 2\sqrt{bc},\qquad a+c\ge 2\sqrt{ac}.$$

   Тогда

   $$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ac}=8abc.$$

3. $$\left(a^3+b\right)\left(a+b^3\right)\ge 4a^2b^2,\quad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

   По неравенству Коши:

   $$a^3+b\ge 2\sqrt{a^3b},\qquad a+b^3\ge 2\sqrt{ab^3}.$$

   Перемножим:

   $$\left(a^3+b\right)\left(a+b^3\right)\ge 4\sqrt{a^3b\cdot ab^3}=4a^2b^2.$$

4. $$\left(ab+1\right)\left(a+b\right)\ge 4ab,\quad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

   По неравенству Коши:

   $$ab+1\ge 2\sqrt{ab},\qquad a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$

   Тогда

   $$\left(ab+1\right)\left(a+b\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{ab}=4ab.$$

5. $$\left(a+2\right)\left(b+5\right)\left(c+10\right)\ge 80\sqrt{abc},\quad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0.$$

   По неравенству Коши:

   $$a+2\ge 2\sqrt{2a},\qquad b+5\ge 2\sqrt{5b},\qquad c+10\ge 2\sqrt{10c}.$$

   Перемножим:

   $$\left(a+2\right)\left(b+5\right)\left(c+10\right)\ge 2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{5b}\cdot 2\sqrt{10c}$$

   $$=8\sqrt{100abc}=80\sqrt{abc}.$$

6. $$a+b+\frac1a+\frac1b\ge 4,\quad a>0,\ b>0.$$

   Сначала оценим каждую пару:

   $$a+\frac1a\ge 2,\qquad b+\frac1b\ge 2.$$

   Складываем:

   $$a+b+\frac1a+\frac1b\ge 2+2=4.$$

7. $$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\cdots \left(1+a_n\right)\ge 2^n,$$

   если $$a_1,a_2,\ldots,a_n>0$$ и $$a_1a_2\cdots a_n=1.$$

   По неравенству Коши для каждого $$i$$:

   $$1+a_i\ge 2\sqrt{a_i}.$$

   Тогда

   $$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\cdots \left(1+a_n\right)\ge 2^n\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}=2^n\sqrt{1}=2^n.$$

Ответ

1. $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4$$
2. $$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge 8abc$$
3. $$\left(a^3+b\right)\left(a+b^3\right)\ge 4a^2b^2$$
4. $$\left(ab+1\right)\left(a+b\right)\ge 4ab$$
5. $$\left(a+2\right)\left(b+5\right)\left(c+10\right)\ge 80\sqrt{abc}$$
6. $$a+b+\frac1a+\frac1b\ge 4$$
7. $$\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\cdots \left(1+a_n\right)\ge 2^n$$