Контрольные вопросы Параграф 8 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

2. Покажите на примере выражения 3х^2 — 12x + 32, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

1. Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $$ax^2+bx+c,$$ где $$x$$ — переменная, $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ — числа, причём $$a\ne 0.$$

   Квадратный трёхчлен может иметь:

   • два корня, если $$D>0;$$
   • один корень, если $$D=0;$$
   • не иметь корней, если $$D<0.$$

2. Выделим квадрат двучлена из выражения $$3x^2-12x+32.$$

   $$ 3x^2-12x+32=3\left(x^2-4x+\frac{32}{3}\right) $$
   $$ =3\left(x^2-4x+4-4+\frac{32}{3}\right) $$
   $$ =3\left((x-2)^2+\frac{20}{3}\right) =3(x-2)^2+20. $$

3. Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c,$$ то

   $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$

   Доказательство. По теореме Виета для уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ имеем:

   $$ x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. $$

   Тогда

   $$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} =x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 $$
   $$ =x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2 =x(x-x_1)-x_2(x-x_1) =(x-x_1)(x-x_2). $$

   Умножая обе части на $$a,$$ получаем:

   $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$

Ответ

1) $$ax^2+bx+c$$, где $$a\ne 0$$; квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного корня в зависимости от знака дискриминанта. 2) $$3x^2-12x+32=3(x-2)^2+20.$$ 3) Если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного трёхчлена, то $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$