Упр.996 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При каких значениях b уравнение х2 — 6bх + 9b2 — 16= 0 имеет два отрицательных корня? Представьте какими-либо тремя способами выражение х^-10 в виде произведения степеней.

1) Решим уравнение $$x^2-6bx+9b^2-16=0.$$

Это квадратное уравнение, где $$a=1,$$ $$b_1=-6b,$$ $$c=9b^2-16.$$ Найдём дискриминант:

$$ D=(-6b)^2-4\cdot 1\cdot(9b^2-16)=36b^2-36b^2+64=64. $$

Тогда корни равны:

$$ x_{1,2}=\frac{6b\pm 8}{2}=3b\pm 4. $$

Чтобы оба корня были отрицательными, нужно:

$$ 3b+4<0,\qquad 3b-4<0. $$

Из первого неравенства получаем $$b<-\frac{4}{3},$$ из второго — $$b<\frac{4}{3}.$$

Оба условия выполняются одновременно при

$$ b<-\frac{4}{3}. $$

2) Представим $$x^{-10}$$ в виде произведения степеней тремя способами:

$$ x^{-10}=x^{-2}\cdot x^{-8} $$

$$ x^{-10}=x^{-4}\cdot x^{-6} $$

$$ x^{-10}=x^{-3}\cdot x^{-7} $$

Ответ

$$b<-\frac{4}{3}.$$

$$x^{-10}=x^{-2}\cdot x^{-8},\quad x^{-10}=x^{-4}\cdot x^{-6},\quad x^{-10}=x^{-3}\cdot x^{-7}.$$