Упр.980 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) система
2x-1<14-x, 3x-2>x-4;
б) система
5x+6<=x, 3x+12<=x+17; в) система 17x-2>12x-1,
3-9x<1-x; г) система 25-6x<=4+x, 3x+7,7>1+4x. Представьте в виде дроби выражение:
а) а^-2 + b^-2;
б) ху^-1 + ху^-2;
в) (а + b^-1)(а^-1 — b);
г) (х — 2у^-1)(х^-1 + 2у).

1. а)

   $$2x-1<1{,}4-x$$
   $$2x+x<1{,}4+1$$
   $$3x<2{,}4$$
   $$x<0{,}8$$

   $$3x-2>x-4$$
   $$3x-x>-4+2$$
   $$2x>-2$$
   $$x>-1$$

   Тогда
   $$x\in(-1;0{,}8).$$

2. б)

   $$5x+6\le x$$
   $$5x-x\le -6$$
   $$4x\le -6$$
   $$x\le -1{,}5$$

   $$3x+12\le x+17$$
   $$3x-x\le 17-12$$
   $$2x\le 5$$
   $$x\le 2{,}5$$

   Тогда
   $$x\in(-\infty;-1{,}5].$$

3. в)

   $$17x-2>12x-1$$
   $$17x-12x>-1+2$$
   $$5x>1$$
   $$x>0{,}2$$

   $$3-9x<1-x$$
   $$-9x+x<1-3$$
   $$-8x<-2$$
   $$x>0{,}25$$

   Тогда
   $$x\in(0{,}25;+\infty).$$

4. г)

   $$25-6x\le 4+x$$
   $$-6x-x\le 4-25$$
   $$-7x\le -21$$
   $$x\ge 3$$

   $$3x+7{,}7>1+4x$$
   $$3x-4x>1-7{,}7$$
   $$-x>-6{,}7$$
   $$x<6{,}7$$

   Тогда
   $$x\in[3;6{,}7).$$

Ответ: а) $$(-1;0{,}8)$$; б) $$(-\infty;-1{,}5]$$; в) $$\left(0{,}25;+\infty\right)$$; г) $$[3;6{,}7)$$.

Ход решения

1. а)

   $$a^{-2}+b^{-2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}.$$

2. б)

   $$xy^{-1}+xy^{-2}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y^2}=\frac{xy+x}{y^2}=\frac{x(y+1)}{y^2}.$$

3. в)

   $$\left(a+b^{-1}\right)\left(a^{-1}-b\right)=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-b\right).$$

   Раскроем скобки:
   $$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-b\right)=1-ab+\frac{1}{ab}-1=\frac{1-a^2b^2}{ab}.$$

4. г)

   $$\left(x-2y^{-1}\right)\left(x^{-1}+2y\right)=\left(x-\frac{2}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+2y\right).$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\left(x-\frac{2}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+2y\right)=\frac{xy-2}{y}\cdot\frac{1+2xy}{x}=\frac{(xy-2)(1+2xy)}{xy}.$$

Ответ: а) $$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$$; б) $$\frac{x(y+1)}{y^2}$$; в) $$\frac{1-a^2b^2}{ab}$$; г) $$\frac{(xy-2)(1+2xy)}{xy}$$.