Упр.98 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Представьте в виде дроби: Упростите выражение:

1. а)

   $$\frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2}$$
   
   Так как $$16b^2-a^2=-(a^2-16b^2)=-(a-4b)(a+4b),$$ получаем
   $$\frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}+\frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a+4b-(a-4b)+2a}{(a-4b)(a+4b)}= \frac{2a+8b}{(a-4b)(a+4b)}= \frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)}= \frac{2}{a-4b}. $$

2. б)

   $$\frac{1}{2b-2a}+\frac{1}{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3}$$
   
   Преобразуем знаменатели:
   $$2b-2a=2(b-a), \quad 2b+2a=2(b+a), \quad a^2b-b^3=b(a^2-b^2)=-b(b^2-a^2).$$
   Тогда
   $$ \frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}-\frac{a^2}{b(b^2-a^2)}. $$
   Приведём к общему знаменателю $$2b(b^2-a^2):$$
   $$ \frac{b(b+a)+b(b-a)-2a^2}{2b(b^2-a^2)}= \frac{b^2+ab+b^2-ab-2a^2}{2b(b^2-a^2)}= \frac{2b^2-2a^2}{2b(b^2-a^2)}= \frac{2(b^2-a^2)}{2b(b^2-a^2)}= \frac{1}{b}. $$

Ответ

а) $$\frac{2}{a-4b}$$

б) $$\frac{1}{b}$$