Упр.961 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. При каких натуральных значениях $$n$$: а) разность $$\left(2-2n\right)-\left(5n-27\right)$$ положительна; б) сумма $$\left(-27{,}1+3n\right)+\left(7{,}1+5n\right)$$ отрицательна?
2. При каких значениях $$b$$ уравнение $$x^2-(2b-2)x+b^2-2b=0$$ имеет два корня, принадлежащие интервалу $$(-5; 5)$$?

1. а) Найдём, при каких натуральных значениях $$n$$ разность положительна:

   $$(2-2n)-(5n-27)>0$$

   $$2-2n-5n+27>0$$

   $$29-7n>0$$

   $$7n<29$$

   $$n<\frac{29}{7}=4\frac{1}{7}$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

   $$n=1,2,3,4$$

2. б) Найдём, при каких натуральных значениях $$n$$ сумма отрицательна:

   $$(-27{,}1+3n)+(7{,}1+5n)<0$$

   $$-27{,}1+3n+7{,}1+5n<0$$

   $$-20+8n<0$$

   $$8n<20$$

   $$n<2{,}5$$

   Следовательно,

   $$n=1,2$$

3. Рассмотрим уравнение

   $$x^2-(2b-2)x+b^2-2b=0$$

   Чтобы оно имело два корня, нужно, чтобы $$D>0$$.

   Вычислим дискриминант:

   $$D=(2b-2)^2-4(b^2-2b)$$

   $$D=4b^2-8b+4-4b^2+8b=4>0$$

   Значит, уравнение всегда имеет два корня.

   Найдём корни:

   $$x_{1,2}=\frac{2b-2\pm\sqrt{4}}{2}$$

   $$x_1=b,\qquad x_2=b-2$$

   Оба корня должны принадлежать интервалу $$(-5;5)$$:

   $$-5<b<5$$

   $$-5<b-2<5$$

   Из второго неравенства получаем:

   $$-3<b<7$$

   Пересечение условий:

   $$-3<b<5$$

Ответ

а) $$n=1,2,3,4$$; б) $$n=1,2$$; $$b\in(-3;5)$$.