Упр.961 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) разность (2 — 2n) — (5n — 27) положительна;
б) сумма (-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) отрицательна? При каких значениях b уравнение
х2 — (2b- 2)х + b2 — 2b = О имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)?

Подробный ответ

а) Найдём, при каких натуральных значениях $$n$$ разность положительна:
$$ (2-2n)-(5n-27)>0 $$
$$ 2-2n-5n+27>0 $$
$$ 29-7n>0 $$
$$ 7n<29 $$
$$ n<\frac{29}{7}=4\frac{1}{7} $$
Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:
$$ n=1,2,3,4 $$
б) Найдём, при каких натуральных значениях $$n$$ сумма отрицательна:
$$ (-27{,}1+3n)+(7{,}1+5n)<0 $$
$$ -27{,}1+3n+7{,}1+5n<0 $$
$$ -20+8n<0 $$
$$ 8n<20 $$
$$ n<2{,}5 $$
Следовательно,
$$ n=1,2 $$
Рассмотрим уравнение
$$ x^2-(2b-2)x+b^2-2b=0 $$
Чтобы оно имело два корня, нужно, чтобы $$D>0$$.
Вычислим дискриминант:
$$ D=(2b-2)^2-4(b^2-2b) $$
$$ D=4b^2-8b+4-4b^2+8b=4>0 $$
Значит, уравнение всегда имеет два корня.
Найдём корни:
$$ x_{1,2}=\frac{2b-2\pm\sqrt{4}}{2} $$
$$ x_1=b,\qquad x_2=b-2 $$
Оба корня должны принадлежать интервалу $$(-5;5)$$:
$$ -5<b<5 $$
$$ -5<b-2<5 $$
Из второго неравенства получаем:
$$ -3<b<7 $$
Пересечение условий:
$$ -3<b<5 $$