Упр.96 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: Представьте в виде дроби:

1. $$\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$a^2-2a=a(a-2), \qquad a^2-4=(a-2)(a+2)$$

   Тогда

   $$\frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)}=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)}$$

   $$\frac{a^2+6a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)}=\frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)}=\frac{6a+8}{a(a^2-4)}$$

2. $$\frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4}$$

   Разложим на множители:

   $$16-x^2=(4-x)(4+x), \qquad 4-x^2=(2-x)(2+x)$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{x+4}=\frac{4-x^2-(x+1)(4-x)}{(4-x)(4+x)}$$

   $$4-x^2-(x+1)(4-x)=4-x^2-4x-4+x^2-x=-5x$$

   Значит,

   $$\frac{-5x}{16-x^2}$$

3. $$\frac{(a+b)^2}{a^2+ab}+\frac{(a-b)^2}{a^2-ab}$$

   Разложим знаменатели:

   $$a^2+ab=a(a+b), \qquad a^2-ab=a(a-b)$$

   Тогда

   $$\frac{(a+b)^2}{a(a+b)}+\frac{(a-b)^2}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{a}$$

   $$\frac{(a+b)+(a-b)}{a}=\frac{2a}{a}=2$$

4. $$\frac{x^2-4}{5x-10}-\frac{x^2+4x+4}{5x+10}$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2), \qquad x^2+4x+4=(x+2)^2$$

   $$5x-10=5(x-2), \qquad 5x+10=5(x+2)$$

   Тогда

   $$\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)}-\frac{(x+2)^2}{5(x+2)}=\frac{x+2}{5}-\frac{x+2}{5}=0$$

Ответ

а) $$\frac{6a+8}{a(a^2-4)}$$; б) $$\frac{-5x}{16-x^2}$$; в) $$2$$; г) $$0$$.