Упр.927 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (-3; +бесконечность) и (4; +бесконечность);
б) (-бесконечность; 2) и [0; +бесконечность);
в) (-бесконечность; 6) и (-бесконечность; 9);
г) [1; 5] и [0; 8]. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при а>0, b > 0, с > 0 верно неравенство:
а) ac+b/c>= 2 корень ab;
б) (1+a2/bc)(1+b2/ac)(1+c2/ab)>=8.

Подробный ответ

а) Для промежутков $$(-3; +\infty)$$ и $$ (4; +\infty) $$ общая часть — все числа, большие $$4$$, то есть

$$(-3; +\infty)\cap(4; +\infty)=(4; +\infty).$$

Объединение этих промежутков даёт все числа, большие $$-3$$:

$$(-3; +\infty)\cup(4; +\infty)=(-3; +\infty).$$

б) Для промежутков $$(-\infty; 2)$$ и $$[0; +\infty)$$ общая часть — числа от $$0$$ до $$2$$, не включая $$2$$:

$$(-\infty; 2)\cap[0; +\infty)=[0; 2).$$

Объединение покрывает всю числовую прямую:

$$(-\infty; 2)\cup[0; +\infty)=(-\infty; +\infty).$$

в) Для промежутков $$(-\infty; 6)$$ и $$(-\infty; 9)$$ пересечение — более узкий промежуток:

$$(-\infty; 6)\cap(-\infty; 9)=(-\infty; 6).$$

Объединение — более широкий промежуток:

$$(-\infty; 6)\cup(-\infty; 9)=(-\infty; 9).$$

г) Для промежутков $$[1; 5]$$ и $$[0; 8]$$ пересечение — общий отрезок:

$$[1; 5]\cap[0; 8]=[1; 5].$$

Объединение — весь отрезок от $$0$$ до $$8$$:

$$[1; 5]\cup[0; 8]=[0; 8].$$

Докажем неравенства.

а) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$ac$$ и $$\dfrac{b}{c}$$ имеем:

$$ ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ac\cdot \frac{b}{c}}=2\sqrt{ab}. $$

б) Применим неравенство $$x+\frac{1}{x}\ge 2$$ к положительным числам $$\dfrac{a^2}{bc}$$, $$\dfrac{b^2}{ac}$$ и $$\dfrac{c^2}{ab}$$:

$$ 1+\frac{a^2}{bc}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}},\qquad 1+\frac{b^2}{ac}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}},\qquad 1+\frac{c^2}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}. $$

Перемножим эти неравенства:

$$ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right) \ge 8\sqrt{\frac{a^2}{bc}\cdot \frac{b^2}{ac}\cdot \frac{c^2}{ab}}. $$

Так как

$$ \frac{a^2}{bc}\cdot \frac{b^2}{ac}\cdot \frac{c^2}{ab}=1, $$

то

$$ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8. $$