Упр.926 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) [-7; 0] и [-3; 5];
б) (-4; 1) и (10; 12);
в) (-бесконечность; 4) и (10; +бесконечность);
г) [3; +бесконечность) и (8; +бесконечность). Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (a+b)(1/a+1/b)>=4;
б) a/b2 + b/b2 >=1/a+1/b.

1. Найдём объединение промежутков:

   а) $$[-7;0]\cup[-3;5]=[-7;5]$$

   б) $$(-4;1)\cup(10;12)$$ — промежутки не пересекаются, поэтому объединение остаётся таким же.

   в) $$(-\infty;4)\cup(10;+\infty)$$ — промежутки не пересекаются.

   г) $$[3;+\infty)\cup(8;+\infty)=[3;+\infty)$$

2. Докажем неравенство при $$a>0$$ и $$b>0$$.

   а)

   $$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-4 =\frac{(a+b)^2}{ab}-4 =\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0. $$

   Значит,
   $$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4. $$

   б)

   $$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{a^3+b^3-ab(a+b)}{a^2b^2} $$
   $$ =\frac{a^3-a^2b+b^3-ab^2}{a^2b^2} =\frac{a^2(a-b)-b^2(a-b)}{a^2b^2} =\frac{(a-b)(a^2-b^2)}{a^2b^2} =\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}\ge 0. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}. $$

Ответ

а) $$[-7;5]$$;
б) $$(-4;1)\cup(10;12)$$;
в) $$(-\infty;4)\cup(10;+\infty)$$;
г) $$[3;+\infty)$$.
$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4, \qquad \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}. $$