Упр.924 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (1; 8) и (5; 10);
б) [—4; 4] и [-6; 6];
в) (5; +бесконечность) и (7; +бесконечность);
г) (-бесконечность; 10) и (-бесконечность; 6). Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

а) Для пересечения промежутков берём общую часть:

$$ (1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8). $$

б) Общая часть отрезков:

$$ [-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]. $$

в) Общая часть лучей:

$$ (5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty). $$

г) Общая часть промежутков:

$$ (-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6). $$

Сравним площади квадрата и прямоугольника при одинаковом периметре. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, тогда его периметр:

$$ P_{\text{пр}} = 2(a+b). $$

Пусть сторона квадрата равна $$c$$, тогда его периметр:

$$ P_{\text{кв}} = 4c. $$

По условию $$P_{\text{пр}} = P_{\text{кв}}$$, значит

$$ 2(a+b)=4c, \qquad c=\frac{a+b}{2}. $$

Тогда площадь квадрата:

$$ S_{\text{кв}} = c^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}. $$

Сравним с площадью прямоугольника $$S_{\text{пр}}=ab$$:

$$ S_{\text{кв}}-S_{\text{пр}}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab =\frac{a^2-2ab+b^2}{4} =\frac{(a-b)^2}{4}\ge 0. $$

Значит, площадь квадрата не меньше площади прямоугольника, а при $$a\ne b$$ — больше.

Ответ

а) $$ (5; 8) $$; б) $$ [-4; 4] $$; в) $$ (7; +\infty) $$; г) $$ (-\infty; 6) $$; площадь квадрата больше площади произвольного прямоугольника с тем же периметром.