Упр.924 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) $$(1; 8)$$ и $$(5; 10)$$; б) $$[-4; 4]$$ и $$[-6; 6]$$; в) $$(5; +\infty)$$ и $$(7; +\infty)$$; г) $$(-\infty; 10)$$ и $$(-\infty; 6)$$.
2. Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.

а) Для пересечения промежутков берём общую часть:

$$(1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8).$$

б) Общая часть отрезков:

$$[-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4].$$

в) Общая часть лучей:

$$(5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty).$$

г) Общая часть промежутков:

$$(-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6).$$

Сравним площади квадрата и прямоугольника при одинаковом периметре. Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, тогда его периметр:

$$P_{\text{пр}} = 2(a+b).$$

Пусть сторона квадрата равна $$c$$, тогда его периметр:

$$P_{\text{кв}} = 4c.$$

По условию $$P_{\text{пр}} = P_{\text{кв}}$$, значит

$$2(a+b)=4c, \qquad c=\frac{a+b}{2}.$$

Тогда площадь квадрата:

$$S_{\text{кв}} = c^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}.$$

Сравним с площадью прямоугольника $$S_{\text{пр}}=ab$$:

$$S_{\text{кв}}-S_{\text{пр}}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab =\frac{a^2-2ab+b^2}{4} =\frac{(a-b)^2}{4}\ge 0.$$

Значит, площадь квадрата не меньше площади прямоугольника, а при $$a\ne b$$ — больше.

Ответ

а) $$(5; 8)$$; б) $$[-4; 4]$$; в) $$(7; +\infty)$$; г) $$(-\infty; 6)$$; площадь квадрата больше площади произвольного прямоугольника с тем же периметром.