Упр.919 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Укажите все дроби вида $$\frac{a}{54}$$, где $$a \in \mathbb{N}$$, принадлежащие промежутку $$\left[\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right]$$.

2. а) Докажите, что при $$a>3$$ значение выражения $$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)$$ отрицательно.

   б) Докажите, что при $$y>1$$ значение выражения $$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)$$ положительно.

1. Найдём все дроби вида $$\frac{a}{54}$$, которые принадлежат промежутку $$\left[\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right].$$

   Умножим границы промежутка на $$54$$:

   $$\frac{1}{9}\cdot 54=6,\qquad \frac{1}{6}\cdot 54=9.$$

   Значит, нужно взять все натуральные числа $$a$$, для которых $$6\le a\le 9$$. Получаем дроби:

   $$\frac{6}{54},\ \frac{7}{54},\ \frac{8}{54},\ \frac{9}{54}.$$

2. а) Докажем, что при $$a>3$$ выражение

   $$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)$$
   отрицательно.

   $$\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3} = \frac{(a-3)^2-(a+3)^2}{(a+3)(a-3)} = \frac{a^2-6a+9-a^2-6a-9}{(a+3)(a-3)} = \frac{-12a}{(a+3)(a-3)}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right) = \frac{-12a}{(a+3)(a-3)}\cdot \frac{a+3}{a} = \frac{-12}{a-3}.$$

   При $$a>3$$ имеем $$a-3>0$$, значит

   $$\frac{-12}{a-3}<0.$$

3. б) Докажем, что при $$y>1$$ выражение

   $$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)$$
   положительно.

   Преобразуем выражение в скобках:

   $$\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1} = \frac{1}{y(y-1)}+\frac{y-3}{(y-1)(y+1)} = \frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)}.$$

   Тогда

   $$\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right) = \frac{2}{y}\cdot \frac{y(y-1)(y+1)}{y^2-2y+1} = \frac{2(y+1)}{y-1}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right) = \frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2(y+1)}{y-1} = \frac{y^2-2y+1}{y-1} = \frac{(y-1)^2}{y-1} = y-1.$$

   При $$y>1$$ имеем $$y-1>0$$, значит всё выражение положительно.

Ответ

$$\frac{6}{54},\ \frac{7}{54},\ \frac{8}{54},\ \frac{9}{54}.$$

а) $$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)=\frac{-12}{a-3}<0.$$

б) $$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)=y-1>0.$$