Упр.919 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
б) Докажите, что при у > 1 значение выражения (y2+3)/(y-1) — 2/y : (1/(y2-y) + (y-3)/(y2-1) положительно.
Найдём все дроби вида $$\frac{a}{54}$$, которые принадлежат промежутку $$\left[\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right].$$
Умножим границы промежутка на $$54$$:
$$ \frac{1}{9}\cdot 54=6,\qquad \frac{1}{6}\cdot 54=9. $$
Значит, нужно взять все натуральные числа $$a$$, для которых $$6\le a\le 9$$. Получаем дроби:
$$ \frac{6}{54},\ \frac{7}{54},\ \frac{8}{54},\ \frac{9}{54}. $$
а) Докажем, что при $$a>3$$ выражение
$$ \left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right) $$
отрицательно.$$ \frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3} = \frac{(a-3)^2-(a+3)^2}{(a+3)(a-3)} = \frac{a^2-6a+9-a^2-6a-9}{(a+3)(a-3)} = \frac{-12a}{(a+3)(a-3)}. $$
Тогда
$$ \left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right) = \frac{-12a}{(a+3)(a-3)}\cdot \frac{a+3}{a} = \frac{-12}{a-3}. $$
При $$a>3$$ имеем $$a-3>0$$, значит
$$ \frac{-12}{a-3}<0. $$
б) Докажем, что при $$y>1$$ выражение
$$ \frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right) $$
положительно.Преобразуем выражение в скобках:
$$ \frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1} = \frac{1}{y(y-1)}+\frac{y-3}{(y-1)(y+1)} = \frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)}. $$
Тогда
$$ \frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right) = \frac{2}{y}\cdot \frac{y(y-1)(y+1)}{y^2-2y+1} = \frac{2(y+1)}{y-1}. $$
Следовательно,
$$ \frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right) = \frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2(y+1)}{y-1} = \frac{y^2-2y+1}{y-1} = \frac{(y-1)^2}{y-1} = y-1. $$
При $$y>1$$ имеем $$y-1>0$$, значит всё выражение положительно.
Ответ
$$\frac{6}{54},\ \frac{7}{54},\ \frac{8}{54},\ \frac{9}{54}.$$
а) $$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)=\frac{-12}{a-3}<0.$$
б) $$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)=y-1>0.$$
